อ่อนแอ $L^p$ การบรรจบกันสำหรับการส่งผ่านไปยังขีด จำกัด ในการประมาณเชิงเส้นทีละชิ้นของฟังก์ชันเครื่องหมาย?

Aug 16 2020

พิจารณา $$ S_\epsilon(\xi) = \begin{cases} 1 & \text{ if } \xi > \epsilon \\ \xi/\epsilon &\text{ if } |\xi| < \epsilon \\ -1 &\text{ if } \xi < - \epsilon \end{cases}$$ ซึ่งเป็นเวอร์ชันที่ปรับให้เรียบของไฟล์ $\mathrm{sign}$ ฟังก์ชัน

สมมติว่า $u_n \to u$ อ่อนแอใน $L^p([0,1])$ เพื่อทุกสิ่ง $p \in [1,\infty]$ เช่น $n \to \infty$. จริงหรือไม่$S_\epsilon(u_n-1) \to S_\epsilon(u-1)$ อ่อนแอในบางคน $L^p$เหรอ?

คำตอบ

1 StephenMontgomery-Smith Aug 26 2020 at 00:40

สมมติ $\epsilon \le 1$. บน$[0,1]$, ปล่อย $$ u_n(x) = \cases{ 4 & if $x \ in \ left [\ tfrac {2j} {2n}, \ tfrac {2j + 1} {2n} \ right)$\\ 0 & if $x \ in \ left [\ tfrac {2j + 1} {2n}, \ tfrac {2j + 2} {2n} \ right)$. } $$ แล้ว $u_n \rightharpoonup 2$ ใน $L^p([0,1])$ สำหรับ $1 \le p < \infty$แต่ $S_\epsilon(u_n-1) \rightharpoonup 0 \ne \epsilon = S_\epsilon(2-1)$.

ไม่แน่ใจเกี่ยวกับ $p = \infty$แต่ฉันสงสัยว่าตัวอย่างการตอบโต้นี้ใช้ได้ผล