Feigenbaum Sabiti

Son makalem , Kaos teorisine çok kısa bir girişti ve burada esas olarak kaos teorisinin başladığı kavram olan Kelebek etkisi hakkında yazdım. Daha önce bir yazımda nüfus grafiğinden bahsetmiştim . Grafiği "incir ağacı" denen bir fraktal olarak tanımladım. Fraktalların kaos teorisinin bir parçası olduğundan da bahsetmiştim. Peki kaos sonunda bu grafiği nasıl oluşturuyor?

π, sqrt{2}, e, i gibi diğer ünlü matematiksel sabitlerle birlikte bahsedilen gerçekten ünlü bir sabit var. Şahsen ben bunu daha önce hiç duymamıştım, yakın zamana kadar. Bu sabite “ Feigenbaum Sabiti ” denir, değeri δ = 4.6692016……., yani π veya e gibi irrasyoneldir. İki Feigenbaum sabiti vardır. Diğeri α olarak sembolize edilir, ancak bu, bu makalede bahsetmeyeceğim başka bir hikaye.

1970'lerde, Robert May adında bir bilim adamı , nüfus artışını modelleyen bir denklem yazdığı bir makale yazdı. Denklem aşağıdaki gibidir:

Burada x_(n+1) gelecek yılki nüfus, x_n mevcut nüfus ve λ doğurganlıktır. Bu denklem bir lojistik harita veya sadece nüfus artışı için bir fonksiyondur. Temel olarak, bu denklemi kullanarak, gelecek yıl bir topluluk için nüfusun ne olacağını tahmin edebiliriz. λ'nın nüfusun doğurganlığı gibi olduğunu söyledim. Yani, değeri yüksekse yüksek üreme var, düşükse düşük üreme var. λ değeri 0 ile 1 arasındadır, burada 0 üreme yok ve 1 tam üreme anlamına gelir.

Şimdi, nüfus artışıyla ilgilenen bilim adamları, gelecekteki nüfus değişimini gözlemlemek için bu grafiği yinelediler. Verilen denklemin RHS veya Sağ Tarafında, x_n yaşam, (1 — x_n) ise ölümdür.

Tamam. Şimdi x_1 için herhangi bir değer alalım. 0.5 olsun, yani nüfusun yarısı olsun. λ'nın değerini 2.3 olarak alıyorum.

Yani, denklemi kullanarak sonraki yılların nüfusunu hesaplarsak, yani x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8, x_9, x_10, x_11 olacaktır.

sırasıyla 0,575, 0,5621, 0,5661, 0,5649, 0,5653, 0,5652, 0,5652, 0,5652, 0,5652, 0,5652.

Değerin sabit hale geldiğini gözlemleyebilirsiniz. Başka bir deyişle, nüfus artışı sabitlendi. Bu iterasyonda sabit nokta olarak adlandırılır .

λ'yı değiştirirsek ne olur? 0 ile 1 arasında çok küçük bir λ seçelim. 0,65 diyelim. Sezgisel olarak doğurganlığın çok düşük olması durumunda ne olacağı açıktır. Ama yine de x_1'i korumayı 0,5 olarak hesaplayalım. x_2, x_3, x_4….. hesapladığım gibi hesapladığım değerler aşağıdadır.

0,1625, 0,0885, 0,0524, 0,0323, 0,0203, 0,0129, 0,0083, 0,0053, 0,0035, 0,0022, 0,0015, 0,0009, 0,0006, 0,0004, 0,0003, 0,0,0002, 0,0002

Nüfus öldü.

3.2 gibi daha yüksek bir doğurganlık değeri alırsam ne olur?

Tekrar x_1 ile 0.5 olarak hesapladım, birçok yinelemeden sonra değerlerin şöyle devam ettiğini fark ettim:

0.79946, 0.51304, 0.79946, 0.51304, 0.79946, 0.51304, 0.79946, 0.51304, 0.79946, 0.51304,….. Nüfus sabittir, ancak 2 değerde sabittir.

Şimdi dikkatle seçilmiş bir λ değeri, yani 3.5 alacağım.

x_1'in 0,5 olmasıyla, yine hesaplamaları gözden geçirirken, birçok iterasyondan sonra değerlerin şu şekilde devam ettiğini fark ettim:

0.87499, 0.38281, 0.82694, 0.50088, 0.87499, 0.38281, 0.82694, 0.50088, 0.87499, 0.38281, 0.82694, 0.50088, 0.87499, 0.8,8.06, 4…

Bu sefer değer 4 değerde sabittir.

Şimdi gördüğümüz tüm vakalardan grafikler çıkaralım.

a) Nüfus sabit hale geldiğinde

b) Nüfus öldüğünde

c) Nüfus iki değer arasında sıçradığında

d) Popülasyon dört değer arasında sıçradığında

Şimdi elimizdeki sonuçlarla, x ekseninde λ ve y ekseninde popülasyonu olan bir grafik çizeceğiz. Alacağınız şey aşağıdadır:

λ = 3.2 olduğunda yinelenen iki değer elde ettik. Böylece, grafiğin orada ikiye ayrıldığını fark edeceksiniz. 'Bifurcate', grafiğin çatallandığını söylemenin karmaşık bir yoludur. Benzer şekilde, yaklaşık 3.5'te tekrar dörde ayrılır. Bu devam ediyor ama çok daha hızlı. Grafik, şimdi, λ'nın kendisindeki çok küçük değişikliklerde daha da hızlı çatallanırdı. Bir süre sonra sağa doğru gidildikçe grafik olağanüstü bir şey gösteriyor. Ama ondan önce, bu makaleye neyle başladığımı tanımlayayım, Feigenbaum sabiti.

Yukarıdaki şemada gösterildiği gibi, grafiğin her çatallanmasının herhangi iki ardışık uzunluğunu alıp oranını bulursam, sabit bir irrasyonel değer elde edersiniz, 4.6692016…….

Bu Feigenbaum sabitidir. Bir çatallanmanın uzunluğunun 4.6692016…… olduğunu söylüyor. öncekinden kat kat daha küçük. Feigenbaum, popülasyon denklemi gibi herhangi bir ikinci dereceden denklem alırsanız, sadece parametrelerle oynayarak bir periyot ikiye katlama grafiği oluşturabileceğinizi keşfetti. Ardışık iki çatallanmanın uzunluklarının oranını alarak, herhangi bir ikinci dereceden denklem için aynı sayıyı elde edersiniz.

λ = 3.59 civarından sonra grafiğin kaderi aşağıdadır.

Grafik çılgın veya daha doğrusu kaotik hale gelir. Her ne kadar bu grafik, kaos teorisi bilinmeden önce keşfedilmiş olsa da. Bu sabit ve grafik bu nedenle çalışması sırasında çokça kullanılmıştır. Kaos, Kelebek etkisi ile açıklandığı gibi, büyük değişiklikler üreten başlangıç ​​koşullarına duyarlıdır. Benzer şekilde, burada λ'daki çok küçük bir değişiklik, grafikte çılgın değişikliklere neden olabilir. Kelebek etkisi ile birlikte bu, kaos teorisinin başlangıcı oldu.