Adını İngiliz matematikçi George Green'den alan Green Teoremi, sürekli değişim ve fonksiyonların titiz bir şekilde incelenmesiyle ilgilenen matematik dalı olan analizde mükemmel bir teoremdir. Bu makale, 3 boyutlu Öklid uzayı R³ üzerinden analizi araştırıyor ve okul ile üniversite matematiği arasındaki boşluğu kapatmayı amaçlıyor.

Vector Calculus çalışmasındaki ilk teorem, bir alan integralini bir çizgi integraline indirger. Basit bir kapalı eğri C etrafındaki bir çizgi integralini, C tarafından sınırlanan D düzlem bölgesi üzerindeki bir çift katlı integralle ilişkilendirir.

Sezgi

Bunu basit terimlerle anlamak için, iki boyutlu bir düzlemde bir sıvı akışını düşünün. Akışkanın bir bölge içinde aktığını ve akışının bir vektör alanı ile tanımlandığını hayal edin. Bu bölgeyi sınırlayan eğri bir bariyer olarak düşünülebilir ve biz sıvının bu bariyer etrafındaki net dolaşımı ile ilgileniyoruz.

Buradaki sezgi, kapalı bir eğri etrafındaki net dolaşımın, kapsadığı bölge içindeki vektör alanının "dönme davranışı" (kıvrılma) tarafından belirlendiğidir. Kıvrılmanın pozitif olması, alanın eğrinin yönüyle aynı yönde (saat yönünün tersine) döndüğü ve bu da dolaşıma katkıda bulunduğu anlamına gelir. Kıvrılma negatifse, eğrinin yönüne ters düşerek dolaşımı azaltır.

Elips Alanı

Green Teoreminin bir uygulaması hesaplama alanlarındadır. Aşağıdaki D bölgesinin alanıdır

Amacımız, P ve Q rasgele fonksiyonlarını seçmektir, böylece aşağıdakileri tatmin ederiz.

Bir avuç yararlı olasılık var.

Gördüğümüz gibi, bu farklı ifadelerin hepsi aynı alanı veriyor.

Alanı Green Teoremi ile hesaplamak için birinci olasılığı seçeceğiz.

C, elips denkleminin eğrisini belirtir. Bunu aşağıdaki şekilde parametrize edeceğiz.

Eğri 0 ile 2pi arasında değişir, integral şimdi

O zaman x = acost(t) ve y'nin t'ye göre türevi yerine koyabiliriz.

Alıştırma olarak, integrali hesaplamaya çalışın ve cevap şu şekilde çıkmalıdır:

Okuduğunuz için teşekkürler. Makaleyi anlayışlı bulursanız alkışlamayı unutmayın.