Preuve simple

Un nombre pair plus un nombre pair donne un nombre pair.

Un nombre impair plus un nombre impair donne un nombre impair.

Un impair plus un pair fait un impair.

On vous a probablement enseigné cette règle simple à l'école primaire. J'étais. Et cela semble être vrai. Essayez-le plusieurs fois, avec quelques chiffres différents, et cela fonctionne toujours. (Si ce n'est pas le cas, vérifiez votre travail. Si cela ne fonctionne toujours pas, publiez.)

Mais est-ce que ça marche pour tous les nombres ? Peu importe la taille?

La différence entre les mathématiques qu'on nous enseigne habituellement à l'école et les mathématiques que font les mathématiciens est la suivante :

1. À l'école, on nous enseigne ce genre de règles afin que nous puissions les utiliser lorsque nous « faisons des maths ».
2. Les mathématiciens essaient de découvrir quelles sont les règles et proposent les arguments les plus concis et les plus élégants possibles pour montrer pourquoi ces règles sont (ou ne sont pas) vraies.

Comme Paul Lockhart le décrit de manière convaincante (et avec humour) dans son essai A Mathematician's Lament, l'art de trouver la vérité est à la fois de vraies mathématiques et très amusant. Et il n'est pas nécessaire que ce soit les preuves formelles et rigides qui sont parfois enseignées à l'école. Il s'agit simplement de rechercher des modèles et de présenter un argument élégant.

Au lieu de dire aux jeunes apprenants des règles sur les sommes de nombres impairs et pairs, que se passerait-il si nous leur demandions d'abord de comprendre quelles pourraient être les règles, puis leur demandions d'expliquer pourquoi c'est une règle ?

Voici un exemple du type de réflexion qui pourrait entrer dans une "preuve", qui n'est qu'une des nombreuses solutions possibles :

D'abord, ne comptons pas avec des chiffres abstraits mais avec des objets tangibles, dans ce cas des carrés. Voici cinq carrés :

[image de plusieurs carrés placés arbitrairement]

Puisqu'un nombre pair signifie qu'il peut être divisé par deux, nous savons que nous pouvons organiser un nombre pair de carrés en deux rangées de même longueur, et les extrémités seront « carrées » :

Un nombre impair, en revanche, aura toujours une fin « en lambeaux » où les rangées ne s'alignent pas :

En réarrangeant ces images, nous pouvons maintenant voir que nos règles semblent être vraies. Deux nombres pairs, mis bout à bout, ont des extrémités paires.

En retournant un nombre impair et en collant les deux extrémités en lambeaux ensemble, deux nombres impairs ont également des extrémités paires.

Mais un impair et un pair, peu importe comment nous retournons et tournons, ne nous donnent jamais de fins paires.

Ce sera vrai quelle que soit la longueur de nos chiffres, car tout ce qui compte, c'est de savoir si les extrémités sont irrégulières ou carrées. (Ces éclairs sont censés suggérer une distance arbitraire… imaginez qu'il y a des milliers de carrés là-dedans.)

CQFD

Est-ce une preuve mathématique valide ? Est-ce que ça importe? Un enfant, ou un groupe d'enfants, qui a passé du temps à imaginer ce genre de « preuves » développera une compréhension et peut-être un enthousiasme pour les mathématiques qu'aucune quantité d'exercices par cœur ne leur donnera. Plus important encore, ils commenceront à apprendre « quoi faire quand vous ne savez pas quoi faire ». Autrement dit, la confiance nécessaire pour résoudre des problèmes que vous n'avez jamais vus auparavant, au lieu de simplement suivre les étapes des problèmes que vous avez.