Aby znaleźć wielomian

Question

Moje wątpliwości dotyczą papieru modelowego PRMO, który miałem dzisiaj. Obraz pytania znajduje się poniżej (musiałem zjeść lunch, więc pomyślałem o szybszym sposobie zadawania pytania i skończyło się na tym):

Co próbowałem :

Czułem to $f(x) - x^3$może podać wartość części kwadratowej wielomianu. W rezultacie, biorąc część kwadratową za formę$ax^2 +bx + c$różnice, które otrzymuję to:

1. $f(1) - 1^3 = a + b + c = 0$
2. $f(2) - 2^3 = 4a + 2b + c = -4$
3. $f(3) - 3^3 = 9a + 3b + c = -18$

Nie jestem ekspertem w rozwiązywaniu 3 równań liniowych dla 3 zmiennych, ale próbowałem i skończyło się na wyrywaniu sobie włosów (starając się być trochę literackim; mam nadzieję, że nie będziesz miał nic przeciwko sformułowaniu, ale raczej skoncentruj się na pytaniu). Próbowałem wziąć dwa równania naraz i zakończyłem otrzymywanie wielu wartości dla tych samych zmiennych.

Będę wdzięczny każdemu, kto zechce mi pomóc.

Answer 1

1. $f(1) - 1^3 = a + b + c = 0$
2. $f(2) - 2^3 = 4a + 2b + c = -4$
3. $f(3) - 3^3 = 9a + 3b + c = -18$

Trzecie równanie jest błędne

Odejmowanie równania (1) od równania (2)

$ 4a + 2b + c -( a + b + c) = -4-0$

$3a +b = -4$------------------------------ eq (3)

Odejmowanie eq (1) od równania (3)

$9a + 3b + c -(4a + 3b + c) = -18-(-4)$

$5a = -22$ $a = \frac{-2}{5}$ Zastąp to we wszystkich równaniach, a otrzymasz odpowiedzi

Answer 2

Zwróć na to uwagę $f(x) = x^2$spełnić trzy podane równania. Ale chcemy stopnia$3$ więc dodajemy $(x-1)(x-2)(x-3)$ i dostać $$f(x) = (x-1)(x-2)(x-3) + x^2$$ z $f(4) = 6+16 = 22$.

Answer 3

Wskazówka: zastanów się $f(x)-x^2$zamiast. O wiele łatwiej jest pracować z wielomianami, które w danych punktach są równe 0.

Answer 4

Podczas gdy rozwiązania obejmują $x^2$ są prawdopodobnie zamierzone przez osobę zadającą pytania, łatwo też szybko uzyskać wartość $f(4)$bez wyodrębniania kwadratu za pomocą różnic skończonych. Pozwolić$g(n) = f(n) - n^3$, tak jak w PO, powinny być kwadratowe. Różnice pierwszego rzędu to:

$$\Delta g(1) = g(2)-g(1) = -4 \\ \Delta g(2) = g(3) - g(2) = -14.$$

Więc różnica drugiego rzędu jest taka $\Delta^2 g(1) = \Delta g(2) - \Delta g(1) = -10$, która dla dowolnego kwadratowego (lub niższego) wielomianu jest stała. W związku z tym$\Delta^2 g(2) = -10$, więc $\Delta g(3) = \Delta g(2) -10 = -24$, i $g(4) = g(3) -24 = -42$.

Więc $f(4) = 4^3 -42 = 22$.

Answer 5

Mamy $$a+b+c=0,$$ $$4a+2b+c=-4$$ i $$9a+3b+c=-18,$$ co daje $$(a,b,c)=(-5,11,-6)$$ i $$f(x)=x^3-5x^2+11x-6.$$ A zatem, $$f(4)=22.$$

Answer 6

Nie musimy jawnie określać współczynników dla wielomianu, w istocie mamy to na podstawie niepowtarzalności

$$f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)+\frac12(x-2)(x-3)-4(x-1)(x-3)+\frac92(x-1)(x-2)$$

który spełnia przez konstrukcję dane warunki z $f(1)=1$, $f(2)=4$ i $f(3)=9$, następnie

$$f(4)=(3)(2)(1)+\frac12(2)(1)-4(3)(1)+\frac92(3)(2)=6+1-12+27=22$$

Jak zauważyliśmy w innych odpowiedziach, mamy to trudniej

$$f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)+x^2$$

Answer 7

Dany $f(x)$ , moniczny wielomian sześcienny.

$f(1) = 1$, $f(2) = 4$, $f(3) = 9$

Możemy to wykazać za pomocą twierdzenia o czynnikach $(x-1)$,$(x-2)$ i $(x-3)$ są czynnikami $f(x) - x^2$

Mamy trzy czynniki liniowe, więc możemy pisać $f(x)$ tak jak,

$f(x) - x^2 = k(x-1)(x-2)(x-3)$, gdzie k jest jakąś stałą

Ale $f(x)$ jest wielomianem monicznym, dlatego k = 1

w ten sposób nasz wielomian staje się, $f(x) - x^2 = (x-1)(x-2)(x-3)$

Umieszczenie x = 4,

$f(4) = 6 + 16 = 22$

Jest to powszechna technika rozwiązywania zadań matematycznych na zawodach, więcej na jej temat możesz przeczytać tutaj https://brilliant.org/wiki/polynomial-interpolation/