Ciągłe widma i pomiary

Question

Przypuśćmy, że mam cząstkę, której pęd mierzymy $p$ z niepewnością $\delta p$. Zaraz po pomiarze wiemy, że jego funkcja falowa jest dana przez$\psi(x)=\int g(p)e^{ipx/\hbar}dp$ (ograniczenie do 1D dla uproszczenia) z $g$ pewna funkcja, która jest $0$ na zewnątrz $p-\delta p$, $p+\delta p$ i z $\int |g(p)|^2dp=1$.

Co więcej możemy powiedzieć o tej funkcji $g$?

Nie mogłem nic więcej o tym powiedzieć, ale muszę przyznać, że na przykład o tym wiemy $g$nigdy nie jest dużo bardziej skoncentrowany, niż powinien. Bo gdybyśmy na przykład wzięli kanon z eksperymentu Sterna-Gerlacha (który rzuca atomami srebra z prędkością około 500 m / s) i skierował go na środek drzwi, to od czasu do czasu powinniśmy widzieć odbijające się atomy. Rzeczywiście, jeśli$g$jest niezwykle skoncentrowana, powstająca fala może się dość rozproszyć i można było zaobserwować efekty dyfrakcyjne. Ale nigdy tego nie robimy.

Answer 1

Zależy to od stanu przed pomiarem. Jeśli funkcja falowa przed pomiarem jest podana przez niektórych$\psi_i(x)$, a następnie funkcja falowa po pomiarze $\psi_f(x)$ jest rzutem $\psi_i(x)$ na podprzestrzeń przestrzeni Hilberta, która jest zgodna z twoimi wynikami pomiarów.

Mówiąc konkretniej, niech $$\psi_i(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^\infty A(p) e^{ipx/\hbar}dp$$

Jeśli mierzysz pęd w interwale $p\in[p_0-\delta p, p_0 + \delta p]$ wtedy stan po pomiarze jest prosty $$\psi_f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{p_0-\delta p}^{p_0 + \delta p} A(p) e^{ipx/\hbar}dp$$

---

Na marginesie, normalizacja nie jest automatycznie zachowywana przez pomiary, ale to jest w porządku, ponieważ stany kwantowe są elementami rzutowej przestrzeni Hilberta i są dobrze zdefiniowane tylko do ogólnej stałej multiplikatywnej. Zwykle wygodniej jest znormalizować funkcję falową, ale pamiętaj, że po pomiarze projekcyjnym będziesz musiał ją ponownie znormalizować.

---

„Jeśli przedział, w którym mierzysz 𝑝, jest wystarczająco mały, możesz przybliżyć 𝑔 jako stałą funkcję na tym przedziale” Dlaczego?

Ponieważ tak długo $A$ jest co najmniej ciągły, a następnie przez krótki okres czasu $g$

wygląda raczej podobnie do tego

Tak jest, jeśli założyć, co bardzo pośrednio robi mój podręcznik, że można faktycznie przybliżyć 𝑔 stałą, ale nie widzę tego założenia nigdzie w postulatach.

Nie, jest to proste zastosowanie zasady nieoznaczoności do pakietu falowego. Aby zaobserwować efekty dyfrakcji, potrzebujesz rozproszenia pakietu fal co najmniej tego samego rzędu wielkości, co rozmiar otworu. Na przykład pakiet fal Gaussa, który nasyca relację niepewności, rozprzestrzenianie się$p$ jest odwrotnie proporcjonalna do spreadu $x$, co oznacza, że ​​duża delokalizacja przestrzenna odpowiada fantastycznie zlokalizowanemu pędowi.