Definicja supremum

Question

Zaskoczyło mnie tylko spostrzeżenie, które poczyniłem na temat tekstów licencjackich z Real Analysis. Pojęcia supremum i infimum nie są szczególnie łatwe do zrozumienia dla studentów, którzy są świeżo w temacie, a na pewno dużo łatwiej jest im zrozumieć maksimum i minimum zbioru (w tym fakt, że mogą one nie istnieć) i górnych granic. Wystarczy wskazać takie interwały jak$[0,2]$ i $[0,2)$ i porozmawiajmy o liczbie 2 i liczbie 3. Dlaczego więc nie zdefiniować najmniejszej górnej granicy zbioru $S$ (w uporządkowanym polu) jako minimum (istnieje) zbioru wszystkich górnych granic dla $S$?

Przeanalizowałem wiele tekstów licencjackich pod kątem analizy rzeczywistej i nigdy nie znalazłem tej prostej definicji ani nawet wspomnianego słowa „minimum”. Większość z nich zdefiniuje to w dużo trudniejszy sposób: „jest to górna granica, a dla dowolnej liczby ściśle mniejszej od niej będzie trochę itd.”. Kilku powie: to górna granica$M$ takie, że jeśli $x$ jest więc górną granicą $M\leq x$. Dlaczego więc nie powiedzieć, „to minimum zbioru wszystkich górnych granic”? Niektórzy powiedzą po prostu „to najmniejsza górna granica”, ale nawet to jest zmiana języka z minimum na najmniej, aw każdym razie używają „najmniejszej górnej granicy” jako tylko nazwy pojęcia, a następnie definiują je w zawiły sposób.

Nie chcę tego publikować jako tematu do dyskusji, a jedynie jako autentyczne pytanie, czy brakuje mi czegoś ważnego, co wyjaśni, dlaczego warto w ten sposób definiować supremum.

Answer 1

Nie sądzę, żeby była jakakolwiek różnica między stwierdzeniem, że jest to „najmniejsza górna granica”, a stwierdzeniem, że jest to „to minimum zbioru wszystkich górnych granic”.

Pozwolić $S$ być zestawem i niech $M$być zbiorem wszystkich górnych granic. Następnie mamy dwa możliwe przypadki:$\exists \max S$ lub $\nexists \max S$:

---

$\exists \max S$:

Gdyby $\exists \max S$, to znaczy, że $\forall s \in S, s \leq \max S$, więc to implikuje $\max S \in M$.

Teraz załóżmy, że $\max S$ nie jest minimum $M$. To znaczy że:$\exists m \in M: m < \max S$. Następnie,$\forall x \in S, x \leq m$, dlatego $m$jest również górną granicą. Ale$\max S \in S$, więc to menas that $\max S \leq m$. Definiująca właściwość$m$ było: $m \in M: m < \max S$. Więc to jest sprzeczność. To znaczy że$\max S$ jest rzeczywiście minimum $M$ a zatem $\sup S = \min M = \max S$.

---

$\nexists \max S$:

Teraz załóżmy, że $\nexists \max S$. Pozwolić$M$ być zbiorem wszystkich górnych granic.

Załóżmy, że $\nexists \min M$. To znaczy że$\nexists m \in M: \forall x \in M, m \leq x$. Oznaczałoby to, że jeśli$a_1 \in M$, następnie $\forall s \in S$: $s \leq a_1$. Ale ponieważ$a_1$ nie jest więc minimum $\exists a_2 \in M: s \leq a_2 \leq a_1$. co oznacza, że ​​możemy się dowolnie zbliżyć tak, jak chcemy$s$. Oznacza to, że możemy znaleźć sekwencję$(a_i)_{i \in \mathbb N} \in M$ takie że $\lim _n a_n = s$.

Teraz pozwól $s_1, s_2 \in S$ takie że $s_1 < s_2$. Wtedy możemy znaleźć sekwencję$(a_i)_{i \in \mathbb N} \in M$ takie że $\lim _n a_n = s_1$. Ale ponieważ możemy się dowolnie zbliżyć$s_1$, to znaczy że $\exists k \in \Bbb N:$ gdyby $n \geq k$ następnie $s_1 < a_n < s_2$. To jest sprzeczność, jak$a_n \in M$jest górną granicą. To znaczy że$\exists \min M$.

Więc podsumuj to $\sup S = \min M$ nawet jeśli $\nexists \max S$.

---

Tak więc dla każdego zestawu $S$, $\sup S = \min M$. Możesz zrobić podobny argument, aby to pokazać$\inf S = \max M$