element grupy homotopii

Question

Mam problem ze zrozumieniem idei elementu grupy homotopii. Oto definicja z Wikipedii:

W sferze n $S^{n}$ wybieramy punkt bazowy $a$. Na przestrzeń$X$ z punktem bazowym $b$, definiujemy $\pi _{n}(X)$ być zbiorem klas homotopii map $f:S^{n}\to X$które odwzorowują punkt bazowy a na punkt bazowy b. W szczególności klasy równoważności są określone przez homotopie, które są stałe w punkcie bazowym kuli.

Więc w moim rozumieniu $\pi_n(X)$ jest tworzony przez pobranie całej ciągłej mapy $f: S^n \rightarrow X$ takie że $f(a) = b$a następnie zmodyfikuj to pod relacją równoważności homotopii. Nie rozumiem jednak ostatniego zdania: klasy równoważności są określone przez homotopie, które są stałe w punkcie bazowym kuli. Co to znaczy być stałym w punkcie bazowym kuli? Gdyby$f$ i $g$ są homotopijne, dlaczego muszą być stałe w punkcie bazowym kuli?

Answer 1

Powiedzieć homotopię $F:S^n\times[0,1]\rightarrow X$ od $f$ do $g$ jest stała w punkcie bazowym kuli oznacza, że $F(a,t)=b\,\,\,\forall t\in[0,1]$, gdzie $a$ jest wybranym punktem bazowym kuli i $b=f(a)=g(a)$ jest wybranym punktem bazowym $X$.

Ogólna homotopia nie musi być stała w punkcie bazowym kuli. Na przykład identyfikacja$S^1$ z $\{z\in\mathbb{C}|1=|z|\}$, pozwolić $X=S^1$ i $1$ być punktem wyjściowym dla $S^1$.

Pozwolić $f,g:S^1\rightarrow X=id_{S^1}$. Więc mamy$1=a=b$w kontekście podanej przez Ciebie definicji. Pozwolić$F:S^1\times[0,1]\rightarrow X;F(z,t)=e^{2i\pi t}z$.

Wtedy wyraźnie $f\simeq_Fg$, ale $F(a,\frac{1}{2})=F(1,\frac{1}{2})=-1\neq1=b$.

Answer 2

„Stała w punkcie bazowym kuli” oznacza stałą we współrzędnej „czasu”. Przypomnij sobie homotopię map$S^n\to X$ to mapa $H:S^n\times [0,1]\to X$. Żeby to powiedzieć$H$ jest stała w punkcie bazowym oznacza, że ​​funkcja $t\mapsto H(a,t)$ jest stała, gdzie $a\in S^n$jest punktem bazowym. Chodzi o to$H$ jest „ciągłą ścieżką” map $H_t:S^n\to X$ określony przez $H_t(x)=H(x,t)$, i Ty chcesz $H_t$ aby zmapować punkt bazowy $S^n$ do punktu bazowego $X$ dla wszystkich $t$, nie tylko $t=0$ i $t=1$ (więc masz „ciągłą ścieżkę map zachowujących punkty bazowe”).