Gracze i bilety
Należysz do N graczy, którzy zagrają w zawodach. Loteria służy do określania miejsca każdego gracza. Masz przewagę. Dwa bilety z Twoim imieniem wkładane są do kapelusza, a dla każdego z pozostałych graczy tylko jeden bilet z jego imieniem. Kapelusz jest dobrze wstrząśnięty, a bilety są losowane jeden po drugim z kapelusza. Kolejność pojawiających się nazw decyduje o umiejscowieniu każdego gracza. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zostanie Ci przypisany plik$n$miejsce docelowe dla $n = 1, 2, . . . , N$?
Prawdopodobieństwo, że moje imię zostanie narysowane $k$próby są $\frac{2}{N}(\frac{N-2}{N})^{k-1}$ (czyli powiedzieć $k-1$ niepowodzenia przed pierwszym sukcesem o godz $k$). Wiem, że rozwiązanie jest$\prod_{k=1}^{n-1}\frac{2}{2+N-n}\frac{N-k}{2+N-k}$.
Pozwolić $A_i$ być wydarzeniem, na którym moje nazwisko compairs pojawia się $i$próby. Więc:
$\mathbb{P}(A_1)=\frac{2}{N+1}$;
$\mathbb{P}(A_2)=\mathbb{P}(\bar{A_1})\mathbb{P}(A_2|\bar{A_1})=(\frac{N-1}{N+1})(\frac{2}{N})$
$\mathbb{P}(A_3)=\mathbb{P}(\bar{A_1}\cap \bar{A_2})\mathbb{P}(A_3|\bar{A_1}\cap \bar{A_2})=(\frac{N-1}{N+1})(\frac{N-2}{N})(\frac{2}{N-1})$.
Tak więc pomyślałem
$\mathbb{P}(A_n)=(\frac{N-1}{N+1})\cdot (\frac{N-2}{N})\cdot ... \cdot (\frac{N-n-1}{N+1-n})\cdot (\frac{2}{N-n})$
ale nie mogę doprowadzić mnie do powyższego produktu. Gdzie się mylę?
Odpowiedzi
Otrzymuję (prawie) taki sam wynik jak Ty, przy założeniu „Po wylosowaniu i umieszczeniu nazwiska wszelkie przyszłe bilety o tej nazwie są ignorowane”:
$(\color{green}{\text{green part edited}})$ $$\mathbb{P}(A_n)=\left(\frac{N-1}{N+1}\right)\cdot \left(\frac{N-2}{N}\right)\cdot ... \cdot \color{red}{\left(\frac{N-n+1}{N+3-n}\right)}\cdot \left(\frac{2}{N\color{green}{+2}-n}\right),$$
tam są $n-1$ terminy dotyczące pierwszego $n-1$nieudane losowania i ostatnie z udanym losowaniem. Mianowniki zmniejszają się o 1 w każdym z czynników, ponieważ liczba losów do losowania zmniejsza się o 1 po każdym losowaniu. Po pierwsze$n-1$ warunki (nieudane losowania) wyliczający również zmniejsza się o 1, więc różnica między mianownikiem a wyliczającym będzie zawsze $2$ w tych warunkach (reprezentujących Twoje 2 bilety).
Wynik ten można zapisać jako
$$\frac{2}{N\color{green}{+2}-n}\prod_{k=1}^{n-1}\frac{N-k}{N+2-k}.$$
Twoim „znanym rozwiązaniem” jest podanie pustego produktu $n=1$, więc oznaczałoby to prawdopodobieństwo 1, które oczywiście nie jest poprawne. Sprawdź więc, czy skopiowałeś go poprawnie.
Twoje rozwiązanie znacznie się upraszcza. Z jakiegoś powodu \ anuluj nie działa, więc próbowałem wskazać, co mam na myśli, pokazując terminy, które anulują, w tym samym kolorze. W ten sposób mogę niestety pokazać tylko kilka pierwszych terminów.
$$\frac{\color{red}{N-1}}{N+1}\frac{\color{blue}{N-2}}{N} \frac{\color{green}{N-3}}{\color{red}{N-1}} \frac{\color{orange}{N-4}}{\color{blue}{N-2}}\dots $$
Oto lepszy sposób, aby to zrobić.
Pozwolić $1\leq n\leq N$zostało dane.
Pozwolić$A$ być wydarzeniem, na którym Twoje imię jest na $n$bilet. Pozwolić$B$ być wydarzeniem, które podasz, nie ma na żadnym z biletów $1,2,\dots,n-1$. Szukamy$\Pr(A\cap B)$.
$$\Pr(A\cap B) = \Pr(A)\Pr(B|A) = \boxed{\frac2{N+1}\frac{N+1-n}{N}}$$
Pierwszy termin jest oczywisty. Po drugie, są$N$ miejsca, w których może znajdować się drugi bilet z Twoim imieniem i nazwiskiem, i $N+1-n$ z nich pochodzi po $n$bilet.
Jeśli zastosujesz opisane powyżej uproszczenie, dojdziesz do tej prostej odpowiedzi.
Może nie rozumiem, jak przeprowadza się ten eksperyment dotyczący prawdopodobieństwa, ale otrzymuję inną odpowiedź niż wszyscy inni. Może ktoś może wskazać, dlaczego moje rozumowanie jest niewłaściwe, jeśli tak jest?
Załóżmy, że po wybraniu nazwy gracza wszelkie przyszłe bilety o tej nazwie są ignorowane.
Liczba sposobów, w jakie bilety można narysować, aby Twoje imię i nazwisko pojawiało się w $n^{th}$ gniazdo jest ${2 \choose 1} \cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot (N-1)!$
Całkowita liczba sposobów losowania biletów wynosi ${2 \choose 1}\cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot N!$
Dzielenie tych dwóch daje pożądane prawdopodobieństwo $$\frac{ 2 \cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot (N-1)! }{ 2 \cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot N! }=\frac{1}{N}$$
Aby to zobaczyć, spójrzmy na konkretny przykład. Załóżmy, że jesteś osobą nr 1 grającą na loterii$N-1=2$ inne osoby i $ \{1,1^*\} $ reprezentuje twoje dwa bilety z pliku $N+1=4$bilety w kapeluszu. Odbiór wszystkich biletów w kapeluszu oznaczymy przez$\{1,1^*,2,3\}$. Możemy wymienić wszystkie${2 \choose 1}\cdot {{3-1} \choose {3-1}} \cdot 3!=12$ możliwe uporządkowanie nazw jawnie: $$\{1,2,3\}, \{ 1,3,2\}, \{ 2,1,3\}, \{ 3,1,2\}, \{2,3,1 \},\{3,2,1 \}$$ $$\{1^*,2,3\}, \{ 1^*,3,2\}, \{ 2,1^*,3\}, \{ 3,1^*,2\}, \{2,3,1^* \},\{3,2,1^*\}$$ Prawdopodobieństwo, że jesteś przypisany do $n^{th}$ umieszczenie jest $ \frac{1}{N}=\frac{1}{3}$ dla $n=1,2,3$ co ma dla mnie sens.