idealnie normalna przestrzeń

Question

Gdyby $X$ jest przestrzenią topologiczną Hausdorffa, tak mówimy $X$ jest całkowicie normalne, jeśli dla każdego zamkniętego zestawu $A$istnieje funkcja ciągła $f_A:X\rightarrow[0,1]$ takie że $f_A^{-1}(0)=A$.

Udowodnij, że całkowicie normalne przestrzenie są normalne.

Mój wysiłek: przypuśćmy $A$ i $B$są dwoma rozłącznymi zamkniętymi zbiorami. Definiować$g=\frac{f_A}{f_A+f_B}$. $g(x)=0$ wtedy i tylko wtedy gdy $x\in A$, i $g(x)=1$ wtedy i tylko wtedy gdy $x\in B$.

Tak długo, jak mogę to udowodnić $g:X\rightarrow [0,1]$jest ciągły, skończyłem. Ale nie wiem, jak pokazać, że jest ciągły.

Answer 1

Innym sposobem może być wyświetlenie mapy $g$ jako następujący skład

$g=G\circ (f_A,f_B)$ gdzie

$(f_A,f_B): X\to [0,1]\times [0,1]$

i

$G: E\subseteq [0,1]\times [0,1]\to [0,1]$

gdzie $E=\{(x,y): x\neq 0 \textit{ or } y\neq 0\}$

Mapa jest $G(x,y):= \frac{x}{x+y}$

to jest ciągłość w jego domenie. Ta mapa jest kontynuacją tego samego rozumowania Kavi Ramy Murthy'ego.

Answer 2

$f_A(x)+f_B(x) \geq 0$ i $f_A(x)+f_B(x) = 0$ wtedy i tylko wtedy gdy $f_A(x)=f_B(x)=0$ wtedy i tylko wtedy gdy $x \in A$ i $x\in B$co jest niemożliwe. W związku z tym$g$jest stosunkiem dwóch funkcji ciągłych, w których mianownik nigdy nie znika. To daje do zrozumienia ze$g$ jest ciągła.