Jak obliczyć $S^{(2)}(E / \mathbb{Q}))$ od $S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q})$ i $S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q})$?

Question

Patrzę na przykład 4.10 (z rozdziału X) z książki Silvermana „Arytmetyka krzywych eliptycznych”, wydanie drugie, które dotyczy zejścia przez izogenezę dwójkową (propozycja 4.9). Przykład dotyczy komputerów$E(\mathbb{Q}) / 2 E(\mathbb{Q})$ dla krzywej $$ E: y^2 = x^3 - 6x^2 +17x .$$ To jest krzywa $2$-izogeniczne do $E$ jest $$ E' : Y^2 = X^3 + 12X^2 - 32X .$$

Mamy zwykłą izogenezę $\phi: E \to E'$ i podwójna izogeneza $\hat \phi : E' \to E$ z $\hat \phi \circ \phi = 2$ (dokładne wzory zdefiniowano w twierdzeniu 4.9).

Oblicza to $S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q}) = \{ \pm 1, \pm 2\}$ i $S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q}) = \{ 1, 17 \}.$

Chciałbym obliczyć $2$-Selmer Group $S^{(2)}(E / \mathbb{Q})$iz tego co rozumiem muszę jakoś połączyć powyższe dwie informacje (podobnie jak można to połączyć $E'(\mathbb{Q}) / \phi ( E(\mathbb{Q}))$ i $E(\mathbb{Q}) / \hat \phi (E' (\mathbb{Q}))$ dostać $E(\mathbb{Q}) / 2E(\mathbb{Q}))$. Czy ktoś mógłby wyjaśnić, jak mam się do tego zabrać?

PS Ogólnie czuję się przytłoczony tą książką, więc jeśli wszystko źle zrozumiałem, daj mi znać.

Answer 1

W twoim przykładzie rewelacyjną informacją, której potrzebujesz, jest uwaga X.4.7 i fakt, że $$E'(\mathbb{Q}) / \phi ( E(\mathbb{Q}))=S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q})=\{ \pm 1, \pm 2\} \text{ and } E(\mathbb{Q}) / \hat \phi (E' (\mathbb{Q}))=S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q})=\{ 1, 17 \},$$ ponieważ odpowiednie grupy Tate-Shafarevich są trywialne, identyfikacja za pomocą „ $x$-coordinate "(z wyjątkiem dwóch punktów skręcania $(0,0)$).

Mamy więc uwagę X.4.7, która to mówi $$ E'(\mathbb Q)[\hat \phi]/\phi(E(\mathbb Q)[2])\to E'(\mathbb Q)/\phi(E(\mathbb Q)) \to E(\mathbb Q)/2E(\mathbb Q) \to E(\mathbb Q)/\hat \phi (E'(\mathbb Q)) \to 0$$ jest dokładny, drugi jest morfizm $\phi$.

Teraz, $$E'(\mathbb Q)/\hat \phi(E(\mathbb Q)) =\langle\ \overline{(0,0)}\ , \ \overline{(8,-32)}\ \rangle$$ i mapę $\phi$ wysyła $(0,0)$ do $0$ (punkt w nieskończoności) (jest to oczywiście ogólne, ponieważ $\phi$ jest wysyłaniem izogenezy 2 $(0,0)$ do $0$) i wysyła $(8,-32)$ do elementu $\phi(8,-32)$, nie $2$-torion (który zostawiłem tobie do obliczenia).

Więc $$S^{(2)}(E/\mathbb Q)=E(\mathbb Q)/2E(\mathbb Q) =\langle\ \overline{\phi(8,-32)}\ , \ \overline{(0,0)}\ \rangle.$$ Teraz możesz użyć opisu elementów, które lubisz $S^{(2)}(E/\mathbb Q)$.

Edycja : w ogólnym przypadku istnieje naturalna dokładna sekwencja$$\to S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q}) \to S^{(2)}(E/\mathbb Q) \to S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q}) \to 0$$ ale nie jestem pewien, co umieścić po lewej stronie.

Jednym ze sposobów zrozumienia tej sekwencji jest obserwacja tego $S^{(2)}(E/\mathbb Q)$ to grupa nieramizowanych pokryć Galois z $E$ z grupą Galois ”$E[2]$"(i wszędzie lokalnie z punktami), a izogeneza 2 pochodzi z a $\mathbb Z/2\mathbb Z \subset E[2]$: Mapa $ S^{(2)}(E/\mathbb Q) \to S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q}) $ koresponduje z mapą „ustalanie przez $\mathbb Z/2\mathbb Z$", jak w zwykłej teorii pól Galois.

Mapa $S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q}) \to S^{(2)}(E/\mathbb Q)$ odpowiada zobaczeniu każdego niezamkniętego pokrycia Galois $\psi:D\to E'$ z $E'$ z grupą Galois $\mathbb Z/2\mathbb Z$ do pokrycia Galois z $E$ przez $\phi$, tj $\phi\circ \psi:D\to E'\to E$.