Numer Skyrmion

Question

Numer skyrmion jest zdefiniowany jako $$n=\frac{1}{4\pi}\int\mathbf{M}\cdot\left(\frac{\partial\mathbf{M}}{\partial x}\times\frac{\partial\mathbf{M}}{\partial y}\right)dxdy$$ gdzie $n$ to indeks topologiczny, $\mathbf {M}$ jest wektorem jednostkowym w kierunku lokalnego namagnesowania w cienkiej, ultracienkiej lub masowej warstwie magnetycznej, a całka jest pobierana z przestrzeni dwuwymiarowej.

Wiadomo, że $\mathbf{r}=\left(r\cos\alpha,r\sin\alpha\right)$ i $\mathbf{m}=\left(\cos\phi \sin\theta,\sin\phi \sin\theta,\cos\theta\right)$. W konfiguracjach skyrmionów przestrzenną zależność namagnesowania można uprościć ustawiając prostopadłą zmienną magnetyczną niezależną od kąta w płaszczyźnie ($ \theta \left(r\right)$) i zmienną magnetyczną w płaszczyźnie niezależną od promienia ($ \phi \left(\alpha\right)$). Następnie numer skyrmion brzmi:$$n=\frac{1}{4\pi}\int_0^\infty dr\int_0^{2\pi}d\alpha\ \frac{d\theta\left(r\right)}{dr}\frac{d\phi\left(\alpha\right)}{d\alpha}\sin\theta\left(r\right)=\frac{1}{4\pi}\ [\cos\theta\left(r\right)]_{\theta\left(r=0\right)}^{\theta\left(r=\infty\right)}[\phi\left(\alpha\right)]_{\theta\left(\alpha=0\right)}^{\theta\left(\alpha=2\pi\right)}$$

Moje pytanie brzmi: jest $\frac{\partial\mathbf{M}}{\partial x}\times \frac{\partial\mathbf{M}}{\partial y}$produkt zwijany i jaki jest wynik tego terminu? Jak więc dojść do ostatecznego równania?

Answer 1

To nie jest loki. Można to zobaczyć wyrażając zawinięcie w składnikach wektora.$$\nabla \times \mathbf M=\begin{pmatrix} \partial_yM_z-\partial_z M_y\\ \partial_zM_x-\partial_x M_z\\ \partial_xM_y-\partial_y M_x \end{pmatrix}$$ Tutaj $\partial_x$ oznacza pochodną częściową w odniesieniu do $x$. Ilość$\partial_x\mathbf M$ jest wektorem tak jak $\mathbf M$. Posiada komponenty$$\partial_x \mathbf M=\begin{pmatrix} \partial_xM_x\\ \partial_xM_y\\ \partial_xM_z \end{pmatrix}$$ Obliczanie ilości $\partial_x\mathbf M\times\partial_y\mathbf M$ jest wtedy tylko kwestią zastosowania iloczynu krzyżowego. $$\partial_x\mathbf M\times\partial_y\mathbf M=\begin{pmatrix} \partial_xM_y\partial_yM_z-\partial_xM_z\partial_yM_y\\ \partial_xM_z\partial_yM_x-\partial_xM_x\partial_yM_z\\ \partial_xM_x\partial_yM_y-\partial_xM_y\partial_yM_x \end{pmatrix}$$To zniechęcające wyrażenie i prawdopodobnie nie uzyskasz dużej intuicji patrząc na komponenty. Możesz o tym powiedzieć, że$\mathbf A\cdot(\mathbf B\times \mathbf C)$tworzy potrójny iloczyn wektorowy . Daje to objętość rozpiętą przez (równoległościan)$\mathbf A,\mathbf B$ i $\mathbf C$. Więc ilość, którą integrujesz, jest objętością, przez którą sięga$\mathbf M,\partial_x \mathbf M$ i $\partial_y \mathbf M$.

Aby obliczyć całkę w ostatnim równaniu, wystarczy włożyć wszystko do mojego ostatniego wyrażenia dla $\partial_x\mathbf M\times\partial_y\mathbf M$. Jest to żmudne, ale powinno być wykonalne.

---

EDYTUJ Dodam więcej informacji, aby obliczenia były mniej uciążliwe. Pochodne cząstkowe można rozwinąć za pomocą reguły łańcuchowej $\partial_x=\frac{\partial r}{\partial x}\partial_r+\frac{\partial \alpha}{\partial x}\partial_\alpha$. Można to obliczyć $$\partial_x=\cos\alpha\partial_r-\frac{\sin\alpha}r\partial_\alpha\\ \partial_y=\sin\alpha\partial_r+\frac{\cos\alpha}r\partial_\alpha$$ Następnie zwróć uwagę na to $\partial_r\mathbf M=\frac{d\theta}{dr}\partial_\theta\mathbf M$ i $\partial_\alpha\mathbf M=\frac{d\phi}{d\alpha}\partial_\phi\mathbf M$. Jeśli nazwiemy te częściowe wektory pochodne $\mathbf e_\theta=\partial_\theta\mathbf M$ i $\mathbf e_\phi=\partial_\phi\mathbf M$ wtedy iloczyn krzyżowy staje się $$\partial_x\mathbf M\times\partial_y\mathbf M=\left(\cos\alpha\frac{d\theta}{dr}\mathbf e_\theta-\frac{\sin\alpha}r\frac{d\phi}{d\alpha}\mathbf e_\phi\right)\times\left(\sin\alpha\frac{d\theta}{dr}\mathbf e_\theta + \frac{\cos\alpha}r\frac{d\phi}{d\alpha}\mathbf e_\phi\right)$$ Wreszcie możesz to obliczyć $\mathbf e_\theta\times \mathbf e_\phi=\sin\theta \,\mathbf M$ i powinieneś być w stanie wykonać to obliczenie bez jawnego obliczania wszystkich składników.

I tak, powinieneś dodać współczynnik $r$ kiedy przełączysz się na współrzędne biegunowe, jak wspomniałeś w komentarzu.