Numeryczna całka konturowa

Question

Próbuję obliczyć całkę podwójną dla stałej $m,z>0$:

  (2Pi I)^{-1} Integrate[(Gamma[y/2] Sqrt[Gamma[3 - y]/Gamma[y]])/
  Gamma[(3 - y)/2] z^(3 - y)
   (Exp[-m x] - 1) x^(y - 3)/x, {x, 0, ∞},{y, 
  3/2 - I ∞, 3/2 + I ∞}]

Całka nad $x$ można wykonać analitycznie, a wynik zależy od produktu $mz$, więc efektywnie jest tylko jeden parametr. Plik$x$ Całka musi zostać podzielona na dwa obszary, które podejrzewam, aw jednym obszarze kontur $y$całka musiałaby zostać zdeformowana, aby pozostała zbieżna. Ponieważ$y$ całka obejmuje skomplikowane cięcia gałęzi, chciałem móc to zrobić numerycznie dla zakresu $mz$, aby uzyskać co najmniej kilka cyfr dokładności. Mimo to mam trudności z uzyskaniem stabilnych wyników liczbowych.

Answer 1

Nie sądzę, żeby ta całka była zbieżna: wystarczy spojrzeć na $x$-integracja,

Assuming[m > 0 && z > 0 && Element[q, Reals], 
  Integrate[((E^(-m*x)-1)*x^(y-4)*z^(3-y)*Gamma[y/2]*
            Sqrt[Gamma[3-y]/Gamma[y]])/Gamma[(3-y)/2] /.
            y->3/2+I*q,
            {x, 0, ∞}]]

(*    diverges    *)

Wydaje się, że zbiegają się tylko wtedy, gdy $\text{Re}(y)$ jest w przedziale $[2,3]$:

Assuming[m > 0 && z > 0,
  Integrate[((E^(-m*x)-1)*x^(y-4)*z^(3-y)*Gamma[y/2]*
            Sqrt[Gamma[3-y]/Gamma[y]])/Gamma[(3-y)/2],
            {x, 0, ∞}]]

(*    (m^(3-y)*z^(3-y)*Gamma[y-3]*Gamma[y/2]*Sqrt[Gamma[3-y]/Gamma[y]])/Gamma[(3-y)/2]
      if 2 < Re[y] < 3                                                                  *)

Korzystając z tego ostatniego wyniku:

f[m_, z_, y_] = 
  Assuming[m > 0 && z > 0 && 2 < Re[y] < 3, 
    Integrate[((E^(-m*x)-1)*x^(y-4)*z^(3-y)*Gamma[y/2]*Sqrt[Gamma[3-y]/Gamma[y]])/Gamma[(3-y)/2],
              {x, 0, ∞}]]

(*    ((m*z)^(3-y)*Gamma[y-3]*Gamma[y/2]*Sqrt[Gamma[3-y]/Gamma[y]])/Gamma[(3-y)/2]    *)

możemy zdefiniować pożądaną całkę jako

F[mz_?NumericQ, Ry_?NumericQ] := 
  2*I*NIntegrate[Re[f[mz, 1, Ry + I t]], {t, 0, ∞}]

wykorzystując pewne symetrie f: zależy to tylko od produktu$m\cdot z$, nie włączone $m$ i $z$indywidualnie; jest symetryczny w$t$ więc możemy ograniczyć całkę do $[0,∞)$(ale weź to dwa razy); a wynik będzie czysto urojony, więc integrujemy tylko rzeczywistą część całki.

Możemy teraz wykreślić, na przykład, wynik dla Ry = Re[y] = 5/2: (wykreślenie części urojonej)

Plot[F[mz, 5/2]/I, {mz, 0, 10}]

Możemy być odważni i ustaleni Ry = Re[y] = 3/2przez analityczną kontynuację:

Plot[F[mz, 5/2]/I, {mz, 0, 10}]