Oceń następujący limit trygonometryczny:

Question

Pytanie: oceń następujący limit $$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sin \left\{\frac{2}{n}\right\}}{\left[2 n \tan \frac{1}{n}\right]\left(\tan \frac{1}{n}\right)}+\frac{1}{n^{2}+\cos n}\right)^{n^{2}}$$ tutaj {} i [] oznaczają odpowiednio funkcję części ułamkowej i największą funkcję liczby całkowitej.

Odpowiedź: Odpowiedź na to pytanie jest podana jako $1$, problem pochodzi z zestawu problemów praktycznych JEE Advanced.

Moje podejście: zorientowałem się, że to jest plik $1^{\infty}$ formularz, więc próbowałem przekształcić go w formularz $$e^{\lim_{{n}\rightarrow{\infty}}n^{2}.G(n)}$$ tutaj $G(n)$ jest funkcją w nawiasach, po tym kroku nie mogę przejść do granicy potęgi $e$ jest bardzo niechlujny i nie można go zamienić na jakąś standardową formę, proszę o pomoc.

Answer 1

Za pomocą $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$, mamy dla $n>2$

$$\begin{align} \sin(\{2/n\})&=\sin\left(2/n-\lfloor2/n\rfloor\right)\\\\ &=\sin(2/n)\cos(\lfloor2/n\rfloor)-\cos(2/n)\sin(\lfloor2/n\rfloor)\\\\ &=\sin(2/n)\\\\ &=2\sin(1/n)\cos(1/n) \end{align}$$

Ponadto dla $n>2$, $\lfloor2n \tan(\frac1n)\rfloor=2$.

Dlatego możemy pisać $n>2$

$$\begin{align} \left(\frac{\sin(\{2/n\})}{\lfloor2n \tan(\frac1n)\rfloor \tan(1/n)}+\frac1{n^2+\cos(n)}\right)^{n^2}&=\left(\cos^2(1/n)+\frac1{n^2+\cos(n)}\right)^{n^2}\\\\ &=\left(1+O\left(\frac1{n^4}\right)\right)^{n^2} \end{align}$$

po czym pozwalając $n\to \infty$ daje pożądany limit

$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sin(\{2/n\})}{\lfloor2n \tan(\frac1n)\rfloor \tan(1/n)}+\frac1{n^2+\cos(n)}\right)^{n^2}=1$$