Okazać się: $(\Delta x)(\Delta \lambda) \geq \frac{\lambda^2}{4\pi}$

Question

Obecnie przechodziłem przez formułę

$$(\Delta x)(\Delta p)\geq\frac{h}{4\pi}$$

co jest oczywiście załączoną formą zasady nieoznaczoności Heisenberga . Ale mam też tę formułę

$$(\Delta x)(\Delta \lambda)\geq\frac{\lambda^2}{4\pi}.$$

Przypuszczam, że jest to rozszerzenie zasady Heisenberga, ale nie znalazłem takiej notatki w książce. Co więcej, myślę, że może pochodziło z hipotezy de Broglie i może być jakimś rachunkiem różniczkowym, ale to tylko przypuszczenie. Dlatego z tych powodów życzę odpowiedzi od was, a ponadto lepiej będzie mieć jakąś fizyczną interpretację tego wzoru, taką jak dla zasady Heisenberga .

Answer 1

Wychodząc od ogólnej zasady nieoznaczoności dla dwóch dowolnych operatorów$\Omega$ i $\Phi$ $$(\Delta\Omega)^2(\Delta\Phi)^2\geq\frac{1}{4}\left|\langle \psi | [\Omega,\Phi] | \psi\rangle\right|^2$$ gdzie $|\psi\rangle$ jest stanem arbitralnym i $[\Omega,\Phi]=\Omega\Phi-\Phi\Omega$, komutator. Wiemy o tym od De Broglie$\lambda=\frac{h}{p}$; na tej podstawie obliczamy przedział możliwości wynoszący$x$ i $\lambda$ tak jak $$\begin{align}\{\lambda,x\}&=\frac{\partial \lambda}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial p}-\frac{\partial x}{\partial x}\frac{\partial\lambda}{\partial p}\\ &=\frac{h}{p^2}\\ &=\frac{\lambda^2}{h}\end{align}$$ Otóż, popularna reguła Diraca dotycząca kwantyzacji (działa w wielu przypadkach) jest taka $$\{\omega,\phi\}=\frac{2\pi}{i h}[\Omega,\Phi]$$ więc mamy $$[\Lambda, X]=i\frac{\Lambda^2}{2\pi}$$. Włączając to do pierwotnej ogólnej zasady nieoznaczoności,$$(\Delta\Lambda)^2(\Delta X)^2\geq\frac{\langle \Lambda^2 \rangle^2}{16\pi^2}$$ a zatem $$(\Delta\Lambda)(\Delta X)\geq\frac{\langle \Lambda^2 \rangle}{4\pi}$$ Teraz, z definicji odchylenia standardowego, wiemy to $(\Delta X )^2+\langle X\rangle^2=\langle X^2\rangle$, więc mamy $$\begin{align} (\Delta\Lambda)(\Delta X)&\geq\frac{\langle \Lambda^2 \rangle}{4\pi}\\ &\geq\frac{1}{4\pi}((\Delta\Lambda)^2+\langle\Lambda\rangle^2) \\ &\geq\frac{\langle\Lambda\rangle^2}{4\pi} \end{align} $$ponieważ odchylenie standardowe jest określone dodatnio. W ten sposób oznaczając wartość oczekiwaną$\Lambda$ tak jak $\lambda$w końcu mamy $$\bbox[5px,border:2px solid black]{(\Delta\Lambda)(\Delta X)\geq\frac{\lambda^2}{4\pi}}$$Ta zasada niepewności jest inna niż normalna zasada położenia i pędu; zamiast iloczynu niepewności zawsze większego niż stała, iloczyn odchylenia standardowego położenia i długości fali jest większy lub równy średniej wartości długości fali podzielonej przez$4\pi$. W ten sposób wiąże niepewność położenia i długości fali ze średnią wartością długości fali.