Opcja w opcji
Jaka jest wartość zamówienia (do zapłaty w bieżącym terminie $t_0$), która daje prawo (ale nie obowiązek) zakupu opcji Vanilla Call (z określonym wykonaniem K) po z góry ustalonej cenie $p$ w przyszłości $t_e$? Cena,$p$ jest określony w $t_0$ i zapłacono w $t_e$jeżeli posiadacz wykonuje prawo do zakupu opcji. Załóżmy, że akcje są logarytmiczne ze stałą zmiennością.
Odpowiedzi
Dowód jest stosunkowo długi, więc skupiam się na przedstawieniu uzasadnienia i głównych kroków.
Pracujemy na modelu Blacka-Scholesa. Bez utraty ogólności skupiamy się na opcji ze strajkiem$P$ kupić w $t_e$ europejska opcja kupna wygasająca o godz $T$napisane na giełdzie $S$. Oczekiwania są zawsze uwzględniane w odniesieniu do środka neutralnego pod względem ryzyka$Q$ chyba że zaznaczono inaczej, a my piszemy $E_t(\cdot):=E(\cdot|\mathscr{F}_t)$.
Wartość $C_t$ europejskiej opcji kupna równa się: $$C_t=E_t\left(e^{-r(T-t)}\max\{S_T-K\}\right)$$
Wartość $O_t$ opcji w stosunku do europejskiej opcji kupna jest udzielana przez: $$\begin{align} O_t &=E_t\left(e^{-r(t_e-t)}\max\{C_{t_e}-P,0\}\right) \\&=e^{-r(t_e-t)}E_t\left( \max\left\{E_{t_e}\left(e^{-r(T-t_e)}\max\{S_T-K,0\}\right)-P,0\right\}\right) \\&=e^{-r(T-t)}E_t \left(1_{S_{t_e}\geq S^\star}\left(E_{t_e}\left(1_{S_T\geq K}\left(S_T-K\right)\right)-\tilde{P}\right)\right) \\&=e^{-r(T-t)}E_t\left(E_{t_e} \left(1_{S_{t_e}\geq S^\star}1_{S_T\geq K}\left(S_T-K\right)-1_{S_{t_e}\geq S^\star}\tilde{P}\right)\right) \\\tag{1}&=e^{-r(T-t)}\left( E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star, S_T\geq K}S_T\right) -E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star, S_T\geq K}\right)K -E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star}\right)\tilde{P} \right) \end{align}$$ gdzie ostatnia nierówność wynika z prawa iteracyjnych oczekiwań, $\tilde{P}:=e^{r(T-t_e)}P$ to strajk złożony, a $S^\star$ jest wartością $s$ rozwiązuje to równanie: $$\tag{2}c(s,T-t_e)-\tilde{P}=0$$ gdzie $c$ to niezdyskontowana cena Blacka-Scholesa dla europejskiej opcji kupna: $$c(s,\tau):=se^{r\tau}\Phi\left(\frac{\ln\frac{s}{K}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}\right)-K\Phi\left(\frac{\ln\frac{s}{K}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}\right)$$
W praktyce ilość $S^\star$ można obliczyć, rozwiązując równanie numeryczne $(2)$, na przykład Newton-Raphson. Teraz trzeci wyraz w Równaniu$(1)$ jest tylko prawdopodobieństwem, że zmienna logarytmiczno-normalna będzie powyżej $S^\star$. Analogicznie do klasycznego Blacka-Scholesa, jest to równe:$$\tag{3.a}E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star}\right)=\Phi\left(\frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}}\right)$$
Aby obliczyć drugi człon w $(1)$, definiujemy $Z$ i $Y$ jako dwie niezależne normalne zmienne losowe z zerową średnią i jednostkową wariancją w celu przedstawienia przyrostów Browna od $t$ do $t_e$ a stamtąd do $T$. Zauważ, że:$$\begin{align} 1_{\{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K\}} &=1_{\left\{S_te^{\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)+\sigma \sqrt{t_e-t}Z}\geq S^\star,\ S_te^{\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)+\sigma\left(\sqrt{t_e-t}Z+\sqrt{T-t_e}Y\right)}\geq K\right\}} \\\tag{4} &=1_{\left\{Z\leq \frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\ X\leq \frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right\}} \end{align}$$ gdzie $X$ jest trzecią standardową zmienną normalną z następującą korelacją z $Z$: $$\rho:=\frac{\text{Cov}(\sqrt{t_e-t}Z+\sqrt{T-t_e}Y,Z)}{\sqrt{V(\sqrt{T-t_e}Z+\sqrt{t_e-t}Y)V(Z)}}=\sqrt{\frac{t_e-t}{T-t}}$$ Stąd drugi człon w Równaniu $(1)$ jest skumulowanym dwuzmiennym normalnym prawdopodobieństwem powyżej $Z$ i $X$ sparametryzowane przez ich korelację $\rho$: $$\begin{align} &E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}\right) \\[6pt]\tag{3.b} &\quad=\Phi_\rho\left(\frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right) \end{align}$$
Pierwszy wyraz w Równaniu $(1)$, zmieniamy miarę oczekiwania na miarę zapasów, gdzie numéraire jest akcją $S$, o którym napiszemy $\mathcal{S}$: $$\begin{align} E_t^\mathcal{Q}\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}S_T\right) &=E_t^\mathcal{S}\left(e^{r(T-t)}\frac{S_t}{S_T}1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}S_T\right) \\ &=e^{r(T-t)}S_tE_t^\mathcal{S}\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}\right) \end{align}$$
Proces Radona-Nikodyma implikowany przez tę zmianę miary to: $$\begin{align} \left.\frac{d\mathcal{Q}}{d\mathcal{S}}\right|_{\mathscr{F}_t} &=e^{r(T-t)}\frac{S_t}{S_T} \\ &=e^{\frac{\sigma^2}{2}(T-t)-\sigma W^\mathcal{Q}_t} \end{align}$$ Tak więc „proces Novikova” dotyczący tej zmiany środka jest $\theta_t:=-\sigma t$. Zatem następujący proces jest ruchem Browna w ramach miary zapasów:$$W^\mathcal{S}_t=W^\mathcal{Q}_t-\sigma t$$
Oznacza to, że dryf stada w ramach tego nowego środka zwiększa się o $\sigma^2$. Możemy wykorzystać Equation$(4)$ ale tym razem na standardowych zmiennych normalnych $Z'$, $Y'$ i $X'$ w ramach środka zapasów $\mathcal{S}$: $$\begin{align} 1_{\{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K\}} &=1_{\left\{Z'\leq \frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left((r+\sigma^2)-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\ X'\leq \frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left((r+\sigma^2)-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right\}} \\ &=1_{\left\{Z'\leq \frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\ X'\leq \frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right\}} \end{align}$$ To jest: $$\begin{align} &E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}S_T\right) = \\[6pt] \tag{3.c} & \quad e^{r(T-t)}S_t \Phi_\rho\left(\frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right) \end{align}$$ Definiowanie: $$\begin{align} d_1 & := \frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}} \\ d_1^\star & := \frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}} \\[12pt] d_2 & := d_1-\sigma\sqrt{T-t} \\[18pt] d_2^\star & := d_1^\star-\sigma\sqrt{T-t} \end{align}$$ Następnie łączenie równań $(1)$, $(3.a)$, $(3.b)$ i $(3.c)$uzyskujemy pożądany efekt: $$O_t=S_t\Phi_\rho\left(d_1^\star,d_1\right)-e^{-r(T-t)} K\Phi_\rho\left(d_2^\star,d_2\right)-e^{-r(t_e-t)}P\Phi(d_2^\star) \quad \square$$
Jak widać, jest bardzo podobny do równania Blacka-Scholesa dla opcji kupna:
- Trzeci termin formuły wyceny dla $O_t$ jest odpowiednikiem drugiego członu formuły Blacka-Scholesa, a mianowicie strajku zdyskontowanego $P$ razy prawdopodobieństwo wykonania opcji na opcję;
- Pierwsze dwa terminy łącznie wyglądają bardzo blisko wartości opcji kupna Blacka-Scholesa: należy się tego spodziewać, ponieważ opcja jest zapisana na opcji kupna. Jednak prawdopodobieństwa$\Phi_\rho(d_1^\star,d_1)$ i $\Phi_\rho(d_2^\star,d_2)$ podają wartość ceny akcji w $t_e$ i $T$. Dzieje się tak, ponieważ wchodząc w waniliową opcję kupna, znasz cenę akcji na dzień transakcji$t$ ale nie w momencie wygaśnięcia $T$. W takim przypadku przejdziesz do opcji w przyszłości$t_e>t$, stąd też nie znasz wartości instrumentu bazowego ani na początku $t_e$ ani w momencie wygaśnięcia $T$: ta podwyższona niepewność jest przechwytywana przez dwuwymiarowy rozkład normalny.
Myślę, że masz na myśli opcję złożoną . Jego wycena przy założeniach Blacka-Scholesa jest podana w linku. Opcja została po raz pierwszy wyprowadzona przez Geske (1978), zobacz tutaj oryginalny artykuł .