Połączenie w pakiecie pullback.

Question

Pozwolić $E\to N$ być wiązką wektorów i $f:M\to N$być gładką mapą. Wycofanie$f^*:\Omega^k(N,E)\to \Omega^k(M,f^*E)$ jest następnie definiowany przez $$(f^*\omega)_x(v_1,...,v_k)=\omega_{f(x)}((df)_x(v_1),...,(df)_x(v_k))$$ z $x\in M$ i $v_1,...,v_k\in T_xM$.

Pierwsze pytanie : jak mogę przepisać to wycofanie jako mapę$f^*\omega:\mathfrak{X}(M)\times...\times \mathfrak{X}(M)\to \Gamma(M,f^*E)$? Mój problem jest taki$df:\mathfrak{X}(M)\to \mathfrak{X}(N)$ jest dobrze zdefiniowana, o ile $f$jest dyfeomorfizmem. Jednak,$df:\mathfrak{X}(M)\to \Gamma(M,f^*TN)$ jest właściwie dobrze zdefiniowany.

Wtedy wiem, że połączenie $f^*\nabla$ na $f^*E\to M$ jest wyjątkowo określona przez $$(f^*\nabla)(f^*s):=f^*(\nabla(s))\in \Omega^1(M,f^*E)$$

Drugie pytanie: w niektórych książkach widziałem notację$$(f^*\nabla)_X(f^*s)=f^*(\nabla_{df(X)}(s))=\nabla_{df(X)}(s)\circ f$$ ale tak długo, jak $f$ nie jest dyfeomorfizmem $df(X)$ nie jest polem wektorowym $N$ więc pisanie nie ma sensu $\nabla_{df(X)}$. Jak mogę rozwiązać ten problem?

Answer 1

Aby globalnie napisać pullback jako mapę modułów, musisz podzielić konstrukcję na dwie części. Aby wszystko było mniej zagmatwane, oznaczę przez$f^{\star}(E)$ pakiet wycofania i oznaczać przez $\mathfrak{X}_f(M) = \Gamma(M,f^{\star}(TN))$ pola wektorowe wzdłuż $f$. Stąd mapy i konstrukcje obejmujące$\star$ nie mają nic wspólnego z pochodną, ​​podczas gdy mapy obejmują $*$zawierać pochodną. Teraz,

1. Biorąc pod uwagę formę $\omega \in \Omega^k(N,E)$, otrzymujemy element $f^{\star}(\omega) \in \Gamma \left( \operatorname{Alt}^k \left( f^{\star}(TN), f^{\star}(E)\right) \right)$ podane przez $$ f^{\star}(\omega)|_p \left( \xi_1, \dots, \xi_k \right) = \omega_{f(p)} \left( \xi_1, \dots, \xi_k \right)$$ gdzie $\xi_i \in \mathfrak{X}_f(M)$ to pola wektorowe wzdłuż $f$ po to aby $\xi_i(p) \in T_{f(p)}N$a formuła ma sens. Globalnie odpowiada to naprzemiennej mapie$C^{\infty}(M)$-moduły $$f^{\star}(\omega) \colon \mathfrak{X}_f(M) \times \dots \mathfrak{X}_f(M) \rightarrow \Gamma(f^{\star}(E)).$$
2. Dodatkowo masz mapę $df \colon \mathfrak{X}(M) \rightarrow \mathfrak{X}_f(M)$. Następnie$$ f^{*}(\omega)(X_1, \dots, X_k) = f^{\star}(\omega)(df(X_1), \dots, df(X_k)). $$

Jeśli chodzi o drugie pytanie, formuła $$ f^{*}(\nabla)_{X}(f^{\star}(s)) = \nabla_{df(X)}(s) \circ f $$ należy rozumieć lokalnie jako $$ \left( f^{*}(\nabla)_{X}(f^{\star}(s)) \right)|_{p} = \left( \nabla_{df|_{p}(X)}(s) \right) \textrm{ (at }f(p)\textrm{)}.$$ Ma to sens nawet wtedy, gdy $f$ nie jest dyfeomorfizmem jako połączeniem $\nabla_X(s)$ jest tensoryczny w $X$zmienna. Możesz także zrozumieć wzór globalnie, dzieląc konstrukcję połączenia pullback na dwie części:

1. Jest mapa $f^{\star}(\nabla) \colon \mathfrak{X}_f(M) \times \Gamma(E) \rightarrow \Gamma(f^{\star}(E))$ podane przez $$ \left( f^{\star}(\nabla)_{\xi} \right)(s)|_{p} = \left( \nabla_{\xi(p)} s \right)|_{f(p)}. $$
2. Połączenie typu pullback $f^{*}(\nabla)$ to wyjątkowe połączenie $f^{*}(\nabla) \colon \mathfrak{X}(M) \times \Gamma(f^{\star}(E)) \rightarrow \Gamma(f^{\star}(E))$ który spełnia $$ f^{*}(\nabla)_{X}(f^{\star}(s)) = f^{\star}(\nabla)_{df(X)}(s). $$