Potęga sum macierzy

Question

Jaka jest teoria za następującym wyrażeniem, gdzie A + B reprezentuje macierze kwadratowe nxn

Wiem, jak to się robi w algebrze, ale jak dojść do tego wyrażenia? Oczywiście twierdzenie o dwumianach nie jest prawdziwe.

Answer 1

Macierze są generalnie nieprzemienne w odniesieniu do mnożenia. Tak więc kolejność mnożenia musi być zachowana podczas rozszerzania potęg sum macierzy.

$(A+B)^3$ jest naprawdę $(A+B)(A+B)(A+B)$, a ekspansja jest określana przez wybranie jednego członu z każdego czynnika i połączenie ich w kolejności .

Answer 2

To prawo dystrybucji, stosowane wiele razy. Za wzniesienie się do drugiej potęgi i wypisanie wszystkich kroków:

$$(A+B)^2 = (A+B)(A+B) = A(A+B) + B(A+B) = AA + AB + BA + BB$$

Ponieważ nie możesz wymienić $BA$ z $AB$ dla macierzy (ogólnie) jest to tak dalece, jak można posunąć się w uproszczeniu, z wyjątkiem zbierania przebiegów tej samej macierzy co potęga (np. $AA = A^2$). Czy widzisz, jak by to działało, gdy pomnożymy przez$(A+B)$ jeszcze raz?