Prezentacja podgrupy

Question

Pozwolić $G$ być grupą z prezentacją $$G = \langle \sigma_1 ,\sigma _2 , \sigma _3\, |\, \sigma _1^2=\sigma _2^2=\sigma _3^2=(\sigma _1\sigma _2)^p =(\sigma _2\sigma _3)^q =(\sigma _3\sigma _1)^r =1\rangle .$$ Chcę mieć prezentację dla podgrupy $H$ generowane przez elementy $\tau _1=\sigma _1\sigma _2,\, \tau _2=\sigma _2\sigma _3,\ \tau _3=\sigma _3\sigma _1$.

Czy wystarczy przypuszczać prezentację $$ H=\langle \tau _1,\tau _2 ,\tau _3\, |\, \tau _1^p=\tau _2^q=\tau _3^r=\tau _1\tau _2\tau _3 =1 \rangle$$ i argumentować, że relacje w prezentacji $G$ jasno sugerują te domniemane $H$ i że relacje $H$ implikują relacje w prezentacji $G$.

Answer 1

Nie, to nie wystarczy, ponieważ mogą istnieć „ukryte” relacje. W twoim przykładzie$H$ rzeczywiście ma daną prezentację i przypuszczalnie możliwe jest pokazanie tego „odręcznie” przy użyciu właściwości grupy $G$, ale nie jest to „wyraźnie” prawda.

Alternatywnie możesz użyć metody Reidemeister-Schreier. Jest to proces znajdowania prezentacji danej podgrupy grupy i tutaj dobrze działa, ponieważ$H$ ma skończony indeks w $G$. Istnieją dwa podejścia do tej metody: klasyczna wersja kombinatoryczna / algebraiczna opisana w sekcji 2.3 książki Combinatorial group teoria Magnusa, Karrassa i Solitar lub w sekcji II.4 książki Lyndona i Schuppa o tym samym tytule oraz wersja topologiczna z wykorzystaniem pokryć kompleksów prezentacyjnych (patrz tutaj ). Osobiście wolę wersję topologiczną, ponieważ postrzegam ją jako „wizualizację” wersji algebraicznej.

Proces można również wykonać na komputerze (patrz tutaj ), chociaż komputer będzie chciał$p,q,r$ do naprawy.