Problem dotyczący podprzestrzeni

Question

Uczyłem się do kilku quali i pamiętam, że napotkałem ten problem w zeszłym roku i nie mogłem się z nim nigdzie dostać. Nawet teraz jestem trochę zakłopotany. Zastanawiałem się, czy macie jakieś pomysły. Oto problem:

Pozwolić $ V $ być przestrzenią wektorową i niech $ 1\leq n< \operatorname{dim}(V) $być liczbą całkowitą. Pozwolić$ \{V_i\} $ być zbiorem $ n $-wymiarowe podprzestrzenie $ V $ z tą własnością $$ \operatorname{dim}(V_i\cap V_j) = n-1 $$ dla każdego $ i\neq j $. Pokaż, że co najmniej jedna z następujących blokad:

(i) Wszystkie $ V_i $ dzielić się wspólnym $ (n-1) $podprzestrzeń wymiarowa.

(ii) Istnieje $ (n+1) $-wymiarowa podprzestrzeń $ V $ zawierające wszystko $ V_i $.

Answer 1

Najpierw pokażmy, co następuje:

Dla każdego $i,j,k$, Jeśli mamy $V_k\cap V_i\neq V_i\cap V_j,$ następnie $V_i\subseteq V_k+V_j$.

Zauważ, że $\dim(V_k+V_j)=\dim(V_k)+\dim(V_j)-\dim(V_k\cap V_j)=n+1$, więc jest to nasz wyjątkowy kandydat do wspólnego $n+1$-wymiarowa superprzestrzeń.

Teraz jeśli $V_k\cap V_i\neq V_i\cap V_j$, wiemy, że istnieje wektor $\nu_{k,i}\in V_k\cap V_i$ który jest liniowo niezależny od $V_j$. Lecz odkąd$V_i\cap V_j$ jest $n-1$ wymiarowa podprzestrzeń $n$-wymiarowa przestrzeń $V_i$rozumiemy $$ V_i=\textrm{span} \{\nu_{k,i}\}+V_i\cap V_j\subseteq V_k+V_j $$

Teraz musimy tylko argumentować, że jeśli $V_k\cap V_{i_0}\neq V_{i_0}\cap V_j$ dla niektórych $i_0$, a potem dla dowolnego $i$ takie że $V_k\cap V_i=V_i\cap V_j$nadal musimy mieć $V_i\subseteq V_k+V_j$.

Wynika to od $V_i\cap V_{i_0}\neq V_k\cap V_i$. Inaczej,$V_{i_0}$ zawierałby $n-1$ wymiarowa podprzestrzeń $V_i\cap V_j=V_i\cap V_k$ a zatem licząc wymiary, mielibyśmy $$ V_{i_0}\cap V_k=V_i\cap V_k=V_i\cap V_j=V_{i_0}\cap V_j $$ Stąd stosując poprzednie, mamy $$ V_i\subseteq V_{i_0}+V_k\subseteq V_j+V_k $$

W sumie ustaliliśmy pożądane.