Problem z algebrą Lewberta.

Question

Utknąłem z następującym problemem podczas przechodzenia przez sekcję 10.1 z książki „Wykłady o algebrach von Neumanna” Strătili i Zsidó.

Pozwolić $\mathfrak{A}$ być złożoną algebrą z inwolucją, która jest również wyposażona w iloczyn skalarny $\langle\cdot | \cdot\rangle$. Oznaczamy przez$\xi\mapsto\xi^{\text{#}}$ inwolucja w $\mathfrak{A}$ i przez $\mathscr{H}$ przestrzeń Hilberta uzyskana przez wykonanie $\mathfrak{A}$. Oznaczamy przez$\mathfrak{A}^2$ przestrzeń wektorowa generowana przez elementy formularza $\xi\eta,\,\xi,\,\eta\in\mathfrak{A}$. Jeden tak mówi$\mathfrak{A}$ jest lewą algebrą Hilberta, jeśli

1. $\mathfrak{A}\ni\eta\mapsto\xi\eta\in\mathfrak{A}$ jest ciągła, dla każdego $\xi\in\mathfrak{A}$.
2. $\langle\xi\eta_1|\eta_2\rangle=\langle\eta_1|\xi^{\text{#}}\eta_2\rangle$ dla każdego $\xi,\,\eta_1,\,\eta_2\in\mathfrak{A}$.
3. $\mathfrak{A}^2$ jest gęsty $\mathfrak{A}$.
4. $\mathscr{H}\supseteq\mathfrak{A}\ni\xi\mapsto\xi^{\text{#}}\in\mathscr{H}$ jest wstępnie zamkniętym operatorem antyliniowym.

Zgodnie z $1$, dla każdego $\xi\in\mathfrak{A}$, jedna definicja $L_{\xi}\in\mathscr{B}(\mathscr{H})$ według wzoru $L_{\xi}(\eta)=\xi\eta,\,\eta\in\mathfrak{A}$.

Problem: Udowodnij to$I\in\overline{\{L_{\xi}:\xi\in\mathfrak{A}\}}^{so}$, gdzie $I$ jest mapa tożsamości $\mathscr{H}$ określony przez $I(\eta)=\eta,\,\eta\in\mathfrak{A}$.

Autorzy twierdzą, że wynika to z własności $3$, ale nie rozumiem, jak to argumentować. Z góry dziękuję za pomoc.

Answer 1

Oznaczmy $\mathscr{A}=\{L_{\xi}:\xi\in\mathfrak{A}\}$. Naprawić$\eta\in\mathscr{H}$ i pozwól $\Large\chi$$= \ overline {\ mathscr {A} \ eta} $ . Następnie jako $ \ Large \ chi $ i $ \ Large \ chi$$^{\perp}$ obie są niezmienne pod $\mathscr{A}$, czyli rzut ortogonalny $P_{\Large\chi}$ w podprzestrzeni $\Large\chi$ jest w $\mathscr{A}'$. Chcemy to pokazać$\eta\in\Large\chi$. Teraz dla wszystkich$\xi\in\mathfrak{A}$, \ begin {equation *} \ begin {split} L _ {\ xi} \ big (I-P _ {\ Large \ chi} \ big) \ eta = \ big (I-P _ {\ Large \ chi} \ big) L _ {\ xi} (\ eta) = 0, \\ \ text {ie} {L _ {\ xi}} ^ * \ big (I-P _ {\ large \ chi} \ big) \ eta = L _ {\ xi ^ {\ text {#}}} \ big (I-P _ {\ Large \ chi} \ big) \ eta = 0, \\ \ text {ie} \ langle \ zeta, {L _ {\ xi}} ^ * \ big (I-P _ {\ Large \ chi} \ big) \ eta \ rangle = 0 \ text {dla wszystkich} \ zeta \ in \ mathscr {H}, \\ \ text {ie} \ langle L _ {\ xi } (\ zeta), \ big (I-P _ {\ Large \ chi} \ big) \ eta \ rangle = 0 \ text {dla wszystkich} \ zeta \ in \ mathscr {H}. \ end {split} \ end {equation *} Ale jako$\mathfrak{A}^2\subseteq \{L_{\xi}(\zeta):\xi\in\mathfrak{A},\zeta\in\mathscr{H}\}$ jest gęsty $\mathfrak{A}$, stąd jest gęsty $\mathscr{H}$. W związku z tym$\big(I-P_{\Large\chi}\big)\eta=0$, tj $\eta\in\Large\chi$.