Problem z Sylwestrem.
Skończony zbiór $S$punktów w płaszczyźnie ma tę właściwość, że linia przechodząca przez dwa z tych punktów przechodzi przez trzeci punkt. Udowodnij, że wszystkie punkty$S$ są współliniowe.
Widziałem dowód tego problemu na zasadzie ekstremalnej.
Załóżmy, że punkty nie są współliniowe. Wśród par$(p,L)$ składający się z linii $L$ a punkt nie na tej linii, wybieramy taki, który minimalizuje odległość $d$ od $p$ do $L$. Pozwolić$f$ być stopą prostopadłej od $p$ do $L$. Są (przy założeniu) co najmniej trzy punkty$a,b,c$ na $L$. To, powiedzmy dwa z nich$a$ i $b$ są po tej samej stronie $f$. Pozwolić$b $ być bliżej $f$ niż $a$. Następnie odległość od$b$ do linii $ap$ jest mniej niż $d$. Sprzeczność.
Moje pytanie dotyczy ostatniej części. Nie rozumiem, jak „Wtedy odległość od$b$ do linii $ap$ jest mniej niż $d$. "wywołuje sprzeczność. Czy ktoś może wyjaśnić?
Odpowiedzi
Na początku wybraliśmy dowód $(p,L)$ takie, że odległość $d$ pomiędzy $p$ i $L$ jest minimum wśród wszystkich linii i punktów poza tą linią.
Sprzeczność pojawia się, gdy stworzyliśmy parę $(b, ap)$ z odległością mniejszą niż $d$, co jest sprzeczne z warunkiem minimalności na $(p,L)$.
„Geometria” może być tagiem.
EDYCJA: po co $b$ jest bliżej $ap$ niż $p$ jest do $L$, rozważ trójkąt prostokątny $\triangle afp$.
$b$ jest z boku $af$. Odległość od linii$ap$ nie może przekraczać wysokości $\triangle afp$ z podstawą $ap$.
Od $ap$ jest przeciwprostokątna, $ap > af$.
Biorąc pod uwagę obszar $\triangle afp$, widzimy, że wysokość $\triangle afp$ z podstawą $ap$ jest mniejsza niż wysokość $\triangle afp$ z podstawą $af$, który jest $fp = d$.
Daje to pożądany rezultat: odległość $b$ od $ap$ jest mniej niż $d$.
Aby uzyskać wizualne wyjaśnienie, dlaczego odległość od $B$ do $AP$jest mniejszy, oto ilustracja. Wszystkie etykiety punktów zapisałem wielkimi literami i dodałem$G$ i $H$, które są stopami prostopadłych z $B$ i $F$ do linii $AP$odpowiednio. To powinno być jasne$PF > FH > BG$. Formalny dowód używa podobnych trójkątów i proporcji.
