Sinus sumy dowodu

Question

Udowadniam formułę $$ \sin{ \left(x+y \right)} =\sin{x} \cos{y}+\cos{x} \sin{y}$$korzystając ze wzoru Eulera. Ta formuła sumy jest potrzebna do udowodnienia pochodnej sinusa.

Zastanawiam się tylko, czy w takim razie przedstawię argument kołowy, skoro wszystkie dowody wzoru Eulera, które widziałem, wymagają znajomości pochodnych sinusa i cosinusa.

Answer 1

Ahlfors w swojej książce o złożonej analizie definiuje $e^z$ aby spełnić równanie $f'(z)=f(z)$ dla wszystkich $z$ w złożonej płaszczyźnie i $f(0)=1$. Z tej definicji wywodzi rozszerzenie szeregu potęgowego$e^z$i pokaż, że zbiega się wszędzie. On też pokazuje$e^{a+b}=e^ae^b$zastosowanie reguły Leibniza dla instrumentów pochodnych. Następnie definiuje$\sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ i $\cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$. Z tego wzoru Eulersa można wyprowadzić bez pochodnej$\sin$.