Skończona wymiarowość Ext¹ prostych modułów

Question

Dla prostoty niech $\Bbbk$ być polem charakterystycznym $0$ i pozwól $A$ być nieskończenie wygenerowaną jednością asocjacyjną $\Bbbk$-algebra.

Czy to prawda, że ​​dla dowolnych dwóch prostych $A$-moduły $S_1, S_2$, mamy to $\operatorname{Ext}^1_A (S_1, S_2)$ ma skończony wymiar?

Jeśli nie, jaki byłby prosty kontrprzykład i jakich warunków potrzebujemy, aby to zapewnić?

(O ile rozumiem, algebra Weyla $\Bbbk \langle x, y \rangle / (xy - yx - 1)$ ma tylko nieskończenie wymiarowe proste moduły, ale ich pierwsze grupy rozszerzeń są nadal skończone).

Answer 1

Właściwie, twoje twierdzenie o algebrze Weyla jest prawdziwe tylko dla prostych modułów holonomicznych . Okazuje się, że istnieje prosty moduł nieholonomiczny$M$ nad drugą algebrą Weyla $A=A_2(\Bbb C)$ dla którego $\operatorname{Ext}_A^1(M,M)$jest nieskończenie wymiarowy. To jest wniosek 1.3 z „Nieholonomicznych modułów nad algebrami Weyla i algebrami otaczającymi” Stafforda.

Answer 2

To prawda, jeśli $A$jest przemienna. Możemy obliczyć$\text{Ext}^1(S_1, S_2)$ korzystając z pierwszych trzech warunków bezpłatnej rozdzielczości $S_1$; od$S_1$ jest prosta, jest cykliczna, więc pierwsza część tej rezolucji to $A$ a drugi człon tej rezolucji to dowolny skończony zbiór generatorów jądra $A \to S_1$, który jest ostatecznie generowany, ponieważ $A$jest Noetherian; Noetherianness implikuje również, że możemy przyjąć trzeci człon (a właściwie każdy człon) jako skończony. Otrzymujemy więc poziomowo skończoną swobodną rozdzielczość

$$\cdots \to A^n \to A^m \to A \to S_1 \to 0$$

który oblicza $\text{Ext}^1(S_1, S_2)$ jako podwielokrotność $\text{Hom}(A^m, S_2) \cong S_2^m$; przez Nullstellensatz$\dim_k S_2$ jest tak ograniczona $\dim_k \text{Ext}^1(S_1, S_2)$musi być również skończona. Bardziej ogólnie$\dim_k \text{Ext}^n(S_1, S_2)$ jest skończona.

Jeśli $A$ jest nieprzemienna $\dim_k S_2$ może być nieskończony, a jądro $A \to S_1$ może być nieskończenie generowany (jeśli $A$ nie jest Noetherian), więc ten argument zawodzi w dwóch miejscach.