Twierdzenie Cramera-Wolda.

Question

Twierdzenie (urządzenie Cramera-Wolda): Rozkład losowości $n$-wektor $X$ jest całkowicie zdeterminowany przez zbiór wszystkich jednowymiarowych rozkładów kombinacji liniowych $t^TX$, gdzie $t$ zakresy we wszystkich ustalonych $n$-wektory. $$$$ Dowód. $ Y: = t ^ TX $ ma funkcję charakterystyczną: $$ \ phi_Y (s): = E [e ^ {isY}] = E [e ^ {ist ^ TX}] $$ Jeśli znamy rozkład każdego $ Y $ , znamy jego CF $ \ phi_Y (s) $ . W szczególności przyjmując $ s = 1 $ , wiemy, że $ E [e ^ {ist ^ TX}] $ . Ale to jest CF z $ X = (X_1, \ ldots, X_n) ^ T $ oszacowane na $ t = (t_1, \ ldots, t_n) ^ T $ . Ale to determinuje rozkład $ X. $

Moje pytania:

1. Jeśli $ s = 1 $, to czy dowód traci ogólność? Dlaczego nie?
2. Moja interpretacja dowodu jest taka, że ​​jeśli liniowa kombinacja wektora i wektora ma tę samą charakterystyczną funkcję, to ich rozkłady są takie same. Czy ta interpretacja jest prawidłowa? 3) Co w twierdzeniu oznacza „całkowicie zdeterminowany”?

Answer 1

• Nie rozumiem, co masz na myśli, mówiąc w swoim pierwszym pytaniu, mówiąc „stracić ogólność”. Jedynym „ogólnikiem” w dowodzie, który wydaje mi się mieć jakiekolwiek znaczenie, jest to, że musi on działać dla każdego$\ n$-wektor i dla dowolnego $\ n\ $, co robi. Kładzenie$\ s=1\ $ jest tylko jednym krokiem w dowodzie, krokiem, który możesz zgodnie z prawem podjąć, niezależnie od wartości $\ n\ $ i $\ X\ $ są, więc nie nakłada na nie żadnych ograniczeń.

• Wektor to nie to samo, co liniowa kombinacja jego wpisów (chyba że wektor, $\ X\ $ jest $1$-wymiarowa i liniowa kombinacja jest $\ 1\cdot X\ $), który musi być skalarem. Zatem ani rozkład, ani funkcja charakterystyczna losowego wektora nie mogą być takie same, jak liniowa kombinacja wpisów tego losowego wektora. Rozkład losowy$\ n$-wektor, jak również jego charakterystyczna funkcja, będą funkcjami $\ n\ $zmienne, podczas gdy zarówno rozkład, jak i funkcja charakterystyczna dowolnej konkretnej liniowej kombinacji wpisów wektora losowego będą funkcjami tylko jednej zmiennej.

  Kluczową kwestią w urządzeniu Cramera-Wolda jest to, że musisz znać jednowymiarowy rozkład nie tylko jakiejś szczególnej liniowej kombinacji wpisów losowych wektorów, ale każdej takiej kombinacji liniowej, a to pozwala ci wydedukować losowe rozkład wektora, funkcja wielu zmiennych, z tej nieskończonej rodziny funkcji jednej zmiennej.