Uogólnienie funkcji Liouville Lambda

Question

Pozwolić $n=p^{\alpha_1}_1 \cdots p^{\alpha_m}_m,$ i zdefiniuj $$\lambda_k(n)= (-1)^{ [\frac{\Omega(n)}{k} ]},$$ gdzie $\Omega(n)= \alpha_1 + \cdots + \alpha_k,$ i $[\cdot]$ jest funkcją podłogi.

Dla $k=1$, $\lambda_1$jest funkcją Liouvilles Lambda. Dla$k=2$:

$\lambda_2(1)=1, \hspace{2 mm} \lambda_2(p_1)=1, \hspace{2 mm} \lambda_2(p_1p_2)=-1, \hspace{2 mm} \lambda_2(p_1p_2p_3)=-1 \hspace{2 mm} \text{ and so on...}.$

-Czy coś wiadomo o tej funkcji?

-Jeśli dla $\Re(s)>1$ definiujemy $$L(s, \lambda_2):= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\lambda_2(n)}{n^s},$$

Czy jest jakiś związek między $L_{\lambda_2}(s)$ i zera funkcji zeta Riemanna?

-Chyba (nie wiem jak to udowodnić) $$\sum_{n<x} \lambda_2(n) = o(x),$$ podobny do $\lambda_1$ czy powinniśmy oczekiwać anulowania pierwiastka kwadratowego z sumy $\lambda_2$ także?

Answer 1

Rozważmy tylko przypadek $k=2$; możesz spróbować uogólnić ten argument na większy$k$. Dla$k=2$, $$ \sum_{n\le x} \lambda_2(n) = \sum_{\substack{ n\le x \\ \Omega(n) = 0,1 \mod 4}} 1 - \sum_{\substack{ n\le x \\ \Omega(n) = 2,3 \mod 4}} 1. $$ Można to wyrazić jako $$ \text{Re} \sum_{n\le x} i^{\Omega(n)} + \text{Im} \sum_{n\le x}i^{\Omega(n)}, $$a teraz można używać Selberga - Delange. To pokaże asymptotyczną ekspansję dla$\sum_{n\le x} i^{\Omega(n)}$, a wiodącym terminem w asymptozie jest $$ C x (\log x)^{i-1}, $$ dla odpowiedniej stałej $C$. W ten sposób możesz znaleźć asymptotykę dla swojej sumy, która będzie miała postać$$ A \cos(\log \log x) \frac{x}{\log x} + B \sin(\log \log x) \frac{x}{\log x}, $$ dla odpowiednich stałych $A$ i $B$. Dziwne! Ale wtedy też patrzysz na dziwny przedmiot!