Weryfikacja serii ograniczeń

Question

Uprzejmie pytam, czy moje kroki do tych ograniczeń są słuszne.

Zaczynam zawsze od razu sprawdzanie domeny i to jest rada dla moich uczniów liceum.

Mam na przykład tę funkcję, w której domena

$$\operatorname{dom}\left(\frac{(1-x)^{\sqrt x}}{x-2}\right)=\{x\in \Bbb R \colon 0\leq x \leq 1\}$$

i myślę, że nie da się tego napisać $x\to +\infty$

Jeśli mam funkcję $g(x)=\left(\frac{x-1}{x-2}\right)^{\sqrt x}$ gdzie jest to możliwe $x\to +\infty$moje kroki to:

$$\lim _{x\to +\infty }\left(\frac{x-1}{x-2}\right)^{\sqrt x}=\lim_{x\to +\infty}\left(1+\frac{1}{x-2}\right)^{\sqrt x}= \lim_{x\to +\infty}\left(1+\frac{1}{x-2}\right)^{\frac{(x-2)\sqrt x}{x-2}} $$

$$=\lim_{x\to +\infty}\left[\left(1+\frac{1}{x-2}\right)^{x-2}\right]^{\sqrt{\frac{x}{(x-2)^2}}}=e^0=1 $$

Jeśli funkcja jest:

$$\psi(x)=\frac{(x-1)^{\sqrt x}}{x-2}$$

z prostej domeny jest to możliwe $x\to +\infty$, $$\lim _{x\to +\infty }\frac{(x-1)^{\sqrt x}}{x-2}=\lim _{x\to +\infty }\frac{e^{\sqrt{x}\ln \left(x-1\right)}}{x-2}=\frac{e^{\lim _{x\to +\infty}x\sqrt{x}\,\frac{\ln (x-1)}{x}}}{x-2} \tag{A}$$

Istota $$\lim _{x\to +\infty \:}\frac{\ln \left(x-1\right)}{x}=0 \tag{B}$$

Będę miał wykładnik $x\sqrt{x}\,\frac{\ln (x-1)}{x}$ (w (A) ostatnim kroku) nieokreślona forma $(\infty\cdot0)$. Czy istnieje strategia bez użycia reguły L'Hopital dla (A)?

Answer 1

Nie używajmy reguły L'Hopital w $(A)$.

$$\bbox[yellow,5px,border:2px solid red]{\frac{(x-1)^{\sqrt x}}{x-2}=\frac{x^{(\sqrt x-1)}(1-x^{-1})^{x(\sqrt x)^{-1}}}{1-2x^{-1}}=P(x)\cdot Q(x)}\tag{1}$$

gdzie, $$P(x)=x^{(\sqrt x-1)}, \quad \text{and} \quad Q(x)=\frac{(1-x^{-1})^{x(\sqrt x)^{-1}}}{1-2x^{-1}}$$

Zwróć na to uwagę $\lim_{x\to \infty} Q(x)=1$ ($\,\text{Numerator}$ z $Q(x)$ ma zwyczaj $e^0=1$).

Załóżmy wręcz przeciwnie, że ograniczenie w $(1)$ istnieje (ostatecznie) jako $x\to \infty$ i jest równe $L\in \mathbb R$.

Dlatego zgodnie z zasadami limitu $P(x)=\dfrac{P(x)Q(x)}{Q(x)}\implies \lim_{x\to \infty} P(x)=L$, co jest sprzecznością (widzisz dlaczego?).

Dlatego granica nie istnieje w nieskończoność.