Widmo operatora włączone $\ell^2$

Question

Rozważmy operatora $T:\ell^2 \to \ell^2$ zdefiniowany przez

$$T(x)=\left(0,0,\frac{x_2}{2^2},\frac{x_3}{2^3},\dots,\frac{x_n}{2^n}, \dots \right),\\ \forall x=(x_1,x_2,x_3,x_4, \dots, x_n, \dots) \in \ell^2$$

Chcę określić jego widmo $\sigma(T)$ ale robi się bałagan.

---

Moja próba: weź $x,y \in \ell^2$ i $(T-\lambda)x=y$, mamy następujące relacje:

$$-\lambda x_1=y_1 \\ -\lambda x_2=y_2\\ \frac{x_2}{4}-\lambda x_3=y_3\\ \frac{x_3}{8}-\lambda x_4=y_4\\ \vdots\\ \frac{x_n}{2^n}-\lambda x_{n+1}=y_{n+1} $$

z tych, które mamy

$$x_1=-\frac{y_1}{\lambda}\\ x_2=-\frac{y_2}{\lambda}\\ x_3=-\frac{y_3}{\lambda}-\frac{y_2}{4\lambda^2}\\ x_4=-\frac{y_4}{\lambda}-\frac{y_3}{8\lambda^2}-\frac{y_2}{32\lambda^2}\\ \vdots$$

teraz nie wiem, jak określić, czy nie $x \in \ell^2$.

Answer 1

Twój operator jest zwarty, ponieważ jest granicą rangi skończonej. Zatem wszystkie niezerowe elementy widma są wartościami własnymi. Jeśli$Tx=\lambda x$ z $\lambda\ne0$, następnie \begin{align} 0&=\lambda x_1,\\ 0&=\lambda x_2,\\ \frac{x_n^2}{2^n}&=\lambda x_{n+1},\qquad n>1. \end{align} Z $x_2=0$ to daje do zrozumienia ze $x_n=0$ dla wszystkich $n$, więc $\lambda$ cannot be an eigenvalue. Thus $\sigma(T)=\{0\}$.