Współczynnik problemu w klasie $\Sigma$

Question

Pozwolić $\Sigma$ być klasą jednowartościowych (iniekcyjnych) funkcji holomorficznych na $\mathbb{C}\backslash \mathbb{D}$ gdzie $\mathbb{D}$jest zamkniętym dyskiem jednostkowym. Analogicznie do słynnej hipotezy Bieberbacha jest problem znalezienia ostrych granic dla współczynnika$b_n$ funkcji $$g(z) = z + b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2} + \cdots$$ w $\Sigma.$Jednak problem ten jest znacznie bardziej skomplikowany niż przypuszczenie Bieberbacha, ponieważ nie ma tutaj dobrego kandydata na funkcje ekstremalne. Wstępne przypuszczenie$$|b_n| \leq \frac{2}{n+1}$$ jest fałszywa i, o ile wiem, mamy tylko ostre granice $b_2$ et $b_3$, a mianowicie $$|b_2| \leq \frac{2}{3} \quad \text{and} \quad |b_3| \leq \frac{1}{2} + e^{-6}.$$ Istnieją również twierdzenia, które dają więcej informacji, jeśli dodamy dodatkowe warunki do funkcji $g$ale te mnie tutaj nie interesują. Moje pytanie jest dość ogólne:

Jakie są najnowsze wyniki dotyczące ostrych granic współczynników $b_n$w ogólnym przypadku? Na przykład znamy to$|b_4|$czy nadal utknęliśmy? Czy jest jakiś nowy kandydat na funkcje ekstremalne?

O dziwo, od tego czasu informacje te są trudne do zdobycia w literaturze $\Sigma$ jest znacznie mniej zbadany niż $\mathcal{S}$. Dzięki za wszelką pomoc.

Answer 1

Najnowsze wyniki nie są bardzo aktualne. Większość z nich została wymieniona w artykule

MR1162188 Carleson, Lennart; Jones, Peter W. O problemach współczynników dla funkcji jednowartościowych i wymiaru konformalnego. Duke Math. J. 66 (1992), nr. 2, 169–206.

Pozwolić $B_n=\sup_\Sigma |b_n|$. Pytanie dotyczy kolejności zmniejszania się$B_n$. Łatwo oszacować$B_n\leq n^{-1/2}$, a stary wynik Clunie i Pommerenke mówi $B_n\leq Cn^{-0.503}$. Nie jestem pewien, czy kiedykolwiek zostało to poprawione, jeśli tak było, to bardzo niewiele. Carleson i Jones to udowodnili$\gamma:=-\lim \log B_n/\log n$istnieje. (Więc przez Clunie-Pommerenke,$\gamma>0.5$). Funkcje ekstremalne to pozornie konformalne mapy dopełnień niektórych zbiorów Julii lub innych samopodobnych fraktali. Korzystając z zestawów Julii, Carleson i Jones byli w stanie to pokazać$\gamma\leq 0.79$, (wspomagane komputerowo) i przypuszczałem, że w rzeczywistości $\gamma=3/4$. Prawdopodobnie przypuszczenie to nie zostało opublikowane, ale było dyskutowane wśród specjalistów w latach 90. Od tamtej pory nie znam żadnych znaczących postępów.