Wygenerowane algebry Sigma
Nie jestem matematykiem, raczej podchodzę do tematów w biegu, kiedy potrzebuję czegoś na temat, który studiuję w danym czasie. Więc przepraszam, jeśli dla większości z was jest to trywialne i przepraszam za wszelkie błędy koncepcyjne, które mogłem popełnić w opisie - postaram się być jak najbardziej precyzyjny.
W tej chwili studiuję teorię prawdopodobieństwa z tego kursu: https://www.youtube.com/playlist?list=PL5B3KLQNAC5jT6yjV1199ji1zUy1YUp6P , [w celu zrozumienia Stochastic Calculus for Finance (tom II - S. Shreve)] i natknąłem się na algebry sigma.
Chociaż rozumiem tę koncepcję; jeśli mamy zbiór, który jest zbiorem podzbiorów Omegi (tj. jeśli mamy zbiór zdarzeń) oznaczony przez F, to F jest sigma-algebrą, jeśli spełnia następujące trzy warunki;
- Omega należy do F,
- F jest zamknięty pod dopełnieniami,
- F jest zamknięty w policzalnych związkach
Jak dotąd dobrze i rozumiem również właściwości wynikające z definicji, a także sposób ich wyprowadzania. Ponadto wiem, że mamy trywialną algebrę sigma, najmniejszą algebrę sigma na Omegi i dyskretną algebrę Sigma, która jest zbiorem potęg Omegi, będąc największą algebrą sigma na Omegi.
Mój problem dotyczy wygenerowanych algebr sigma. Rozumiem definicję; Niech A będzie dowolnym zbiorem podzbiorów Omegi, a następnie sigma (A) jest wygenerowaną algebrą sigma, wygenerowaną z A i jest najmniejszą algebrą sigma zawierającą A. Ponadto możemy znaleźć najmniejszą algebrę sigma przecinając wszystkie algebry sigma zawierające A , ponieważ przecięcie algebr sigma jest również algebrą sigma.
Ostatnia część to ta, której nie rozumiem i wprawia mnie w zakłopotanie. Rozumiem, że mamy zbiór potęg Omegi, który zdecydowanie zawiera zbiór A - Ale co dokładnie mamy na myśli, przecinając wszystkie algebry sigma zawierające A, aby znaleźć najmniejszą zawierającą A? Czy to znaczy, że jeśli mamy algebrę sigma zawierającą zbiór A i inny zbiór podzbiorów B (który jest algebrą sigma zawierającą A, ale rozumiem, że nie jest najmniejszy) i przecinamy go z potęgą Omegi, generujemy sigma (A), która jest rzeczywiście najmniejszą i bardziej wyrafinowaną odpowiedzią na pytania, których potrzebujemy w naszym problemie? Ale skąd dokładnie pochodzi większa algebra sigma (w zbiorach A i B)?
Gdyby ktoś mógł podać bardziej intuicyjne wyjaśnienie lub nawet lepiej podać przykład (skończony, jak rzut kostką), byłbym bardzo wdzięczny.
Wielkie dzięki za poświęcony czas na przeczytanie tego! :)
Odpowiedzi
Nie chodzi o to, aby wziąć plik $\sigma$-algebra $B$ zawierający $A$ i przeciąć go z potęgą $\Omega$. (Zwróć uwagę, że jeśli$B$to dowolny zbiór podzbiorów$\Omega$, i $P(\Omega)$ jest zestawem uprawnień $\Omega$, następnie $B\cap P(\Omega)=B$. Więc przecina się z zestawem uprawnień$\Omega$ niewiele robi.) Chodzi o to, że jeśli mamy dwa $\sigma$-algebry $B_1$ i $B_2$ to zawiera $A$, następnie $B_1\cap B_2$ jest również $\sigma$-algebra zawierające $A$(ćwiczenie). Ponadto,$B_1\cap B_2$ będzie mniejszy niż $B_1$ i $B_2$ (chyba że jeden z $B_1$ lub $B_2$ zawiera inne).
Więc $\sigma(A)$doprowadza ten pomysł do skrajności: przecinamy wszystko $\sigma$-algebry zawierające $A$. W symbolach niech$\mathscr{B}$ być zbiorem $\sigma$-algebry włączone $\Omega$ to zawiera $A$. Następnie$\sigma(A)=\bigcap_{B\in\mathscr{B}}B$. Następnie$\sigma(A)$ jest $\sigma$-algebra zawierające $A$ (ćwiczenie), a jeśli $B$ jest $\sigma$-algebra zawierające $A$ następnie $\sigma(A)\subseteq B$zgodnie z definicją. Dlatego warto zadzwonić$\sigma(A)$ najmniejszy $\sigma$-algebra zawierające $A$, albo $\sigma$-algebra wygenerowana przez $A$.
Teraz pytasz, gdzie te większe $\sigma$-algebry pochodzą, a to bardzo zależy od konkretnego przykładu. Ogólnie zbiór$\mathscr{B}$powyżej może być dość skomplikowane. Ogólnie możemy powiedzieć tylko tyle, że zawsze jest przynajmniej jeden$\sigma$-algebra w $\mathscr{B}$, a mianowicie zestaw uprawnień $\Omega$.
Konstrukcja $\sigma(A)$ opisane powyżej jest dobre dla definicji, ale raczej trudne do wprowadzenia w życie, ponieważ obliczenie może być trudne lub przynajmniej bardzo czasochłonne $\mathscr{B}$. Biorąc pod uwagę konkretny plik$A$, jeśli ktoś chce uzyskać bardziej dokładny opis $\sigma(A)$to zwykle obejmuje obliczanie rodzin zbiorów, które muszą znajdować się w jakimkolwiek$\sigma$-algebra zawierające $A$ dopóki nie wymyślisz rodziny, która sama jest $\sigma$-algebra. Rzeczywiście, jeśli możesz wymyślić kolekcję$B$ który jest $\sigma$-algebra zawierające $A$ i musi być zawarty w jakimkolwiek $\sigma$-algebra, która zawiera $A$, to wynika z tego $\sigma(A)=B$.
Gdy $\Omega$ jest skończona, pomysł brutalnej siły jest trochę bardziej rozsądny, ponieważ możesz po prostu zacząć zamykać $A$ pod skrzyżowaniami i dopełnieniami, aż uzyskasz algebrę.
Rozważmy na przykład prawdziwą linię i zbiór wszystkich zbiorów jednopunktowych $\{\{x\}: x \in \mathbb R\}$. Jedna algebra sigma zawierająca te zbiory to zbiór potęg. Kolejna to rodzina wszystkich policzalnych zbiorów i ich uzupełnień. Jest też wielu innych. Teraz weźmy zbiory wspólne dla wszystkich takich algebr sigma. To daje algebrę sigma wygenerowaną przez naszą rodzinę. W tym przypadku okazuje się, że są to dokładnie policzalne zbiory i ich uzupełnienia. Przyczyna: Każda algebra sigma, która zawiera singletony, musi zawierać wszystkie policzalne zbiory (ponieważ są policzalnymi związkami singletonów). Musi również zawierać ich uzupełnienia. Stąd najmniejsza algebra sigma zawierająca wszystkie singeltons jest dokładnie rodziną wszystkich policzalnych zbiorów i ich uzupełnień.