Znajdź minimum $P = (a - b)(b - c)(c - a)$

Question

Dany $a, b, c$ są takimi liczbami rzeczywistymi $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca + 6$. Znajdź minimum$$P = (a - b)(b - c)(c - a)$$

Moje rozwiązanie:

• Mamy:

$$a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca + 6$$ $$\implies 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 = 2ab + 2bc + 2ca + 12$$ $$\implies (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 12$$

• Korzystając z nierówności AM-GM, mamy:

$$(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \geq 3 \sqrt[3]{((a - b)(b - c)(c - a))^2}$$ $$\implies 3 \sqrt[3]{P^2} \leq 12$$ $$\implies -8 \leq P \leq 8$$

• W związku z tym, $\min P = -8$

Czy to rozwiązanie jest poprawne? Jeśli nie, to dlaczego?

Answer 1

WLOG $a\ge b\ge c$ i pozwól $x=a-b,y=b-c,z=c-a$

Obserwujemy $x+y+z=0$ z $x,y\ge 0$.i jak znalazłeś $x^2+y^2+z^2=12$

Eliminacja z $z$ prowadzi do: ${(x+y)}^2=6+xy ...(1)$

od ${(x+y)}^2\ge 4xy$ co znaczy $0\le xy\le 2$

pozwolić $xy=t$

od $0\le t\le 2$

Teraz $x^2y^2z^2=t^2(6+t)\le 6.2^2+2^3=32$.... (używając (1) i $z=-(x+y)$)

lub $|xyz|\le 4\sqrt{2}$

Answer 2

Nierówność $$(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \geq 3 \sqrt[3]{((a - b)(b - c)(c - a))^2}$$ stać się równością, kiedy $a-b=b-c=c-a,$ lub $a=b=c,$ ale wtedy dla tej wartości $$(a-b)(b-c)(c-a)=0 \ne -8.$$ To jest moje rozwiązanie, mamy $$P^2 = \frac{4(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)^3-(a+b-2c)^2(b+c-2a)^2(c+a-2b)^2}{27} \quad (1)$$ $$\leqslant \frac{4}{27}(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)^3.$$ W związku z tym $$P^2 \leqslant \frac{4}{27}(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)^3 = 32,$$ lub $$-4\sqrt 2 \leqslant (a-b)(b-c)(c-a) \leqslant 4\sqrt 2.$$ Więc $P_{\min} = -4\sqrt 2,$ równość występuje, gdy $a=1,\;b=1+2\sqrt 2,\;c=1+\sqrt 2.$

Uwaga. Jak znaleźć stałą$\frac{4}{27}?$

Dla $(a-b)(b-c)(c-a) \ne 0,$ oprawa $x=a-b,\,y=b-c,$ następnie $$F = \frac{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)^3} = \frac{x^2y^2(x+y)^2}{(x^2+xy+y^2)^3}.$$ Od $x^2+xy+y^2 \geqslant \frac{3}{4}(x+y)^2$ i nierówności AM-GM $$F \leqslant \frac{64}{27} \cdot \frac{x^2y^2}{(x+y)^4} \leqslant \frac{4}{27}.$$ Z tego dowodu otrzymujemy $$\frac{4}{27}- \frac{x^2y^2(x+y)^2}{(x^2+xy+y^2)^3}=\frac{(x-y)^2(2y+x)^2(2x+y)^2}{(x^2+xy+y^2)^3}.$$ To odpowiednik tożsamości $(1).$

Answer 3

Za pomocą $x=a-b,y=b-c$, następnie $-(x+y)=c-a$, więc $P=-xy(x+y)=-(x^2y+xy^2)$.

Warunek $(a−b)^2+(b−c)^2+(c−a)^2=12$ staje się $g=x^2+y^2+xy=6$.

Teraz używamy mnożników Lagrange'a: \begin{align} \nabla P&=-\langle2xy+y^2,x^2+2xy\rangle\\ &=-\langle y(2x+y),x(x+2y)\rangle\\ \\ \nabla g&=\langle2x+y,x+2y\rangle \end{align}

Teraz pozwalam $$\nabla P=\lambda\cdot\nabla g$$ $$\lambda=-y,\,\lambda=-x$$ Więc $x=y$, podłączając to z powrotem $g$: $$3x^2=6$$ $$x=\pm\sqrt2$$ Następnie skrajne wartości $P$ są: $$P=-2\cdot\pm2\sqrt2=\pm4\sqrt2$$

Answer 4

Musimy pokazać, że wartość $-8$ występuje, w przeciwnym razie nie możemy powiedzieć, że jest to wartość minimalna.

Przy okazji możemy udowodnić, że minimum jest $-4\sqrt2.$

Rzeczywiście, musimy to udowodnić $$(a-b)(b-c)(c-a)\geq-4\sqrt2\left(\sqrt{\frac{\sum\limits_{cyc}(a^2-ab)}{6}}\right)^3,$$ które łatwo dostać AM-GM po podstawieniu $a-b=x$, $b-c=y$.

Answer 5

Zminimalizować $P = (a-b)(b-c)(c-a)$

dany $(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 12$

Powiedz WLOG $a \ge b \ge c, \, a - b = x, a - c = y$ gdzie $x \ge 0, y \ge x$

co daje,

$P (x,y) = xy(x-y)$ ...(ja)

$\, G(x,y) = x^2 + y^2 + (x-y)^2 - 12 = 0$ ... (ii)

Korzystanie z Lagrange,

$Q(x,y) = P (x,y) + \lambda G(x,y) = xy(x-y) + \lambda (2x^2 + 2y^2 -2xy - 12)$

Dostajesz $\, 2xy-y^2 + \lambda(4x - 2y) = 0$ .. (iii)

$\, x^2-2xy + \lambda(4y - 2x) = 0$ ... (iv)

Od (iii) i (iv),

Dostajesz $y = 2x, x = 2y$

Nabierający $y = 2x$ (tak jak $y \ge x$) i zastępując w (ii), otrzymujesz $x = \sqrt 2$

Z (i) daje to min $\, P = -4\sqrt2$

Answer 6

Pozwolić $x = a - b, y = b-c, z = c-a$. Potem będzie$x^2 + y^2 + z^2 = 12$ i $x + y + z = 0$. Mamy też$xy + yz + zx = \frac{(x+y+z)^2 - (x^2+y^2+z^2)}{2} = -6$. Musimy znaleźć minimum$xyz$.

Pozwolić $p = x + y + z = 0, q = xy + yz + zx = -6$ i $r = xyz$. Łatwo to udowodnić$$-4p^3r+p^2q^2+18pqr-4q^3-27r^2 = (x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2 = 27(32-r^2)\ge 0$$ Co skutkuje w $-4\sqrt{2} \le r \le 4\sqrt{2}$. Również kiedy$x = \sqrt{2}, y = -2\sqrt{2}, z= \sqrt{2}$ (na przykład $a = -\sqrt{2}, b= -2\sqrt{2}, c = 0$), mamy $xyz = -4\sqrt{2}$. Tak więc minimum$xyz$ jest $-4\sqrt{2}$.

Uwaga: właściwie, $-4p^3r+p^2q^2+18pqr-4q^3-27r^2$ jest dyskryminatorem $u^3 - pu^2 + qu - r = 0$.