Znalezienie normy tego operatora

Question

Mam tę przestrzeń $X=C([-1,1],\mathbb{C})$ przestrzeń funkcji ciągłych z $[-1,1] \to \mathbb{C}$, pozwolić $t_1,\dots,t_n \in [-1,1]$ i $c_1,\dots c_n\in \mathbb{C}$. Rozważmy operatora:$f: X \to \mathbb{C} $ tak jak: $$f(x)=\sum_{j=1}^n c_j x(t_j).$$ Muszę to udowodnić $f$ jest operatorem ograniczonym z $X$ do $\mathbb{C}$ i znajdź $||f||$. Udało mi się udowodnić, że jest ograniczona, ale mam problemy ze znalezieniem$||f||$. Przypomnij sobie, że norma w$X$ jest $\sup$norma. Jeśli oznaczymy$\gamma_j=||c_j|| $: $$\sup_{x\in X}\frac{||f(x)||}{||x||}=\sup_{x\in X}\frac{||\sum_{j=1}^n c_j x(t_j)||}{||x||}=\sup_{x\in X} \sum_{j=1}^n \gamma_j \frac{||x(t_j)||}{||x||} $$ Wyraźnie $|| f||$ zależy wyraźnie od $\gamma_j$, ale nie wiem dobrze, jak kontynuować i jakoś pokazać bardziej jednoznaczną liczbę. Wszelkie pomysły by pomogły.

Answer 1

Wskazówka 1: popełniłeś błąd, następująca równość nie jest prawdą:

$$ \sup_{x\in X}\frac{||\sum_{j=1}^n c_j x(t_j)||}{||x||}\neq \sup_{x\in X} \sum_{j=1}^n \gamma_j \frac{||x(t_j)||}{||x||}$$

Podpowiedź 2: Dla wszystkich$c_j \neq 0$ oznaczać przez $\omega_i:= \frac{c_j}{||c_j||}$.

Następnie $$\|\sum_{j=1}^n c_j x(t_j)\| \leq \sum_{j=1}^n| c_j| | x(t_j)| \leq \sum_{j=1}^n| c_j| \| x\| $$

Pierwsza nierówność to równość dokładnie kiedy $$\overline{\omega_j} x(t_i)=|x(t_i)|$$ podczas gdy druga to równość dokładnie kiedy $$|x(t_i)|=\|x\|$$