Redescubra uma identidade matemática

“Deus criou os números naturais, o resto é obra do homem” – Leopold Kronecker

Se eu perguntar qual é maior 18² ou 17x19, ou se 16x18 é maior que 15x19, você consegue responder instantaneamente à pergunta sem calcular as multiplicações? Se a resposta for não, então você pode ter algo a redescobrir neste artigo.

Pegue o número 5 e eleve ao quadrado 5 x 5 = 25 .

Agora, nesta igualdade, diminua o primeiro 5 por 1 e incremente o segundo 5 por 1, você obtém 4 x 6 = 24 .

Faça o mesmo para 6:

• Quadrado: 6 x 6 = 36
• Decremento/Aumento: 5 x 7 = 35

• Quadrado: 7 x 7 = 49
• Decremento/Aumento: 6 x 8 = 48

• Quadrado: 8 x 8 = 64
• Decremento/Aumento: 7 x 9 = 63

Esta divina harmonia dos números, e da natureza em geral (do ponto de vista matemático) é uma das razões pelas quais temos pessoas que passam a vida inteira em matemática.

Às vezes, isso não é tão intuitivo. Quer dizer, se você olhar 18² contra 17x19, pode-se esperar que 19 terá seu peso na multiplicação, e o resultado ultrapassará 18². Mas isso nunca acontece.

Agora, se escrevermos este resultado como uma equação para qualquer número natural n:

n² - (n-1)(n+1) = 1

Ou de uma forma que todos se lembrarão:

n² - 1 = (n-1)(n+1)

A maioria de nós não vê essa equação como uma lei governando cada quadrado e sua variação de “decremento/incremento”. Em vez disso, apenas vemos algebricamente e justificamos pela expansão (n-1)(n+1) = n² + n - n - 1 = n² - 1. O que não dá vida à equação.

Agora, vamos um pouco mais longe.

Em vez de decrementar/incrementar em 1, vamos decrementar/incrementar em 2.

Para 5:

• 5 x 5 = 25
• 3 x 7 = 21

• 6 x 6 = 36
• 4 x 8 = 32

• 7 x 7 = 49
• 5 x 9 = 45

Novamente, considerando 17² contra 19 x 15, pode-se duvidar que o segundo número seja maior que o primeiro. Mas isso novamente nunca acontece para qualquer número n.

Neste ponto, podemos questionar se existe uma quantidade k tal que se você diminuir/incrementar n por k, este produto será maior que o quadrado.

Se tentarmos k = 3 :

• 5 x 5 = 25
• 2 x 8 = 16

Tentando k = 4 :

• 5 x 5 = 25
• 1 x 9 = 9

Parece que n² é como um “plafond” que números da forma (nk)(n+k) não podem tocar.

E, neste momento, você percebe um padrão: a distância entre um número n² e o número (nk)(n+k) aumenta com k e é igual a k².

Novamente, essa é outra harmonia em números.

Agora, vamos escrever isso em uma equação:

n² - (nk)(n+k) = k²

Ou

n² - k² = (nk)(n+k)

Provavelmente, foi assim que essa identidade foi descoberta pela primeira vez, muito antes de a álgebra nascer.

Portanto, uma maneira de ver essa equação é que os números quadrados estão governando as distâncias entre os números n² e (nk)(n+k) .

Para um bônus do artigo, vamos ver as duas equações de um ponto de vista geométrico.

n² - 1 = (n - 1)(n + 1)

n² - k² = (nk)(n+k)

Obrigado por ler!