Bu makalenin amacı: Bu değeri sayısal olarak tanımlamak ve hesaplamak. Sabit'in Matematikteki görünümleri.

Varsayılan bilgi: Entegrasyon (Calculus), Yakınsama Kavramı

Tanım

Euler sabiti olarak da bilinen ( e = 2.718281828459045… ile karıştırılmamalıdır), küçük gama (γ) ile gösterilen Euler-Mascheroni Sabiti şu şekilde tanımlanır:

" Harmonik seri ile n'nin doğal logaritması arasındaki farkın n → ∞ olarak sınırı ."

Veya,

Yaklaşık γ = 0.57721566490153286060651209008240243104215933593992… değerindeki bu sabit mevcuttur. Ancak sabitin aşkın mı yoksa cebirsel mi olduğu hala bilinmiyor. Aslında γ'nın rasyonel mi yoksa irrasyonel mi olduğu bile bilinmiyor.

Bu sabit rasyonel ise payda 10²⁴²⁰⁸⁰'den büyük olmalıdır.

γ değerinin hesaplanması

Yukarıda tanımlanan γ denkleminde çeşitli n değerlerini değiştirelim,

Burada n arttıkça ve büyüdükçe veya sonsuza meylettikçe değerin bu sabitin başlangıçta tanımlanan değerine yaklaştığını görebiliriz. Bu sayı Euler-Mascheroni Sabitidir .

γ'nın grafik gösterimi

y = 1/ x eğrisinin altındaki turuncu alan doğal log fonksiyonudur. Bunun nedeni, y = 1/x grafiğinin altındaki alanın veya integralinin ln x olmasıdır .

Çubukların yeşil alanı, harmonik serinin grafik temsilidir.

Mavi noktalarla (aşağıda) gölgelenen bu iki alan arasındaki fark, Euler — Mascheroni sabitini temsil eder,

Yakınsama Kanıtı

n sonsuza giderken, Euler-Macheroni sabitini tanımlayan fonksiyonun belirli bir sabit değere yakınsadığını biliyoruz . Ancak bu yakınsamayı herhangi bir kaba kuvvet kullanmadan nasıl kanıtlayabiliriz?

Yani, biliyoruz ki,

Nereye,

Hadi alalım,

bu da n sonsuza eğilim gösterdiğinde sabiti verir .

Yakınsamayı kanıtlamak için,

1. Dizinin azalan olduğunu kanıtlayın ve sonra,
2. sınırlı olduğunu kanıtlayınız .

Şimdi, ln⁡(1 +x )'i Taylor serisini kullanarak ifade etmek ,

x = -1/ n alarak ,

(2) içinde (3) kullanarak,

Böylece,

Bu nedenle, dizi monoton bir şekilde kesin olarak azalmaktadır .

II. DİZİ SINIRLI

a) Dizinin Üst Sınırı

Artık dizinin kesinlikle azalan olduğunu bildiğimiz için, dizinin ilk terimi en büyük terim olacaktır.

Yani, ilk terim,

Bu nedenle, üst sınır 1'dir .

a) Dizinin Alt Sınırı

Biz biliyoruz ki,

Bu, şu şekilde yazılabilir:

Şimdi,

e^x'i şu şekilde tanımlayabiliriz :

x = 0 olduğu durumu atlarsak ,

Yani,

Her iki tarafta doğal kütük alınması,

(5)'ten,

Her iki tarafın toplamını alırsak,

(4)'ten,

Denklemin her iki tarafına H_n ekleyerek ,

Veya,

Bu nedenle, alt sınır 0'dır.

Bu nedenle, G_n , sınırları olan monoton bir şekilde kesin olarak azalan bir dizidir ,

Dolayısıyla dizi, 0 < γ < 1 olacak şekilde bir γ limitine yakınsar.

n → ∞ olarak G_n dizisinin limiti Euler — Mascheroni sabitidir .