En el superventas de suspenso y misterio de 2003 de Dan Brown "El código Da Vinci", hay un poco de réplica en el libro entre el héroe del libro, Robert Langdon, y la criptógrafa Sophie Neveu, en la que expresa su escepticismo sobre el valor "de los creyentes religiosos que viven por creencias que incluyen sucesos milagrosos. Parece que su realidad es falsa ", se burla.
Langdon se ríe y dice que esas creencias no son más falsas "que las de un criptógrafo matemático que cree en el número imaginario 'i' porque le ayuda a descifrar códigos".
Para aquellos de nosotros que no tenemos inclinaciones matemáticas , la broma de Langdon fue un poco desconcertante. ¿De qué diablos está hablando cuando dice que un número es imaginario? ¿Cómo es posible?
Sin embargo, resulta que un número imaginario, básicamente, un número que, cuando se eleva al cuadrado, da como resultado un número negativo , realmente es algo en matemáticas, descubierto por primera vez en los años 1400 y 1500 como una forma de resolver ciertas ecuaciones molestas. Si bien inicialmente se pensó como una especie de truco de salón, en los siglos posteriores, se han visto como una herramienta para conceptualizar el mundo de maneras complejas, y hoy en día son útiles en campos que van desde la ingeniería eléctrica hasta la mecánica cuántica.
"Inventamos números imaginarios por algunas de las mismas razones por las que inventamos números negativos", explica Cristopher Moore . Es físico en el Instituto Santa Fe , una institución de investigación independiente en Nuevo México, y coautor, con Stephan Mertens, del libro de 2011 " La naturaleza de la computación ".
"Comience con la aritmética ordinaria", continúa Moore. "¿Qué es dos menos siete? Si nunca has oído hablar de números negativos, eso no tiene sentido. No hay respuesta. No puedes tener cinco manzanas negativas, ¿verdad? Pero piénsalo de esta manera. Podrías deberme cinco manzanas, o cinco dólares. Una vez que la gente empezó a hacer contabilidad y teneduría de libros, necesitábamos ese concepto ". De manera similar, hoy todos estamos familiarizados con la idea de que si escribimos cheques grandes para pagar las cosas, pero no tenemos suficiente dinero para cubrirlas, podríamos tener un saldo negativo en nuestras cuentas bancarias.
El pensamiento creativo recorre un largo camino
Otra forma de ver los números negativos, y esto será útil más adelante, es pensar en caminar por un vecindario de la ciudad, dice Moore. Si hace un giro equivocado y en la dirección opuesta a nuestro destino, digamos, cinco cuadras al sur, cuando debería haber ido al norte, podría pensar en ello como caminar cinco cuadras negativas hacia el norte.
"Al inventar números negativos, expande su universo matemático y le permite hablar sobre cosas que antes eran difíciles", dice Moore.
Los números imaginarios y los números complejos, es decir, los números que incluyen un componente imaginario, son otro ejemplo de este tipo de pensamiento creativo. Como lo explica Moore: "Si te pregunto cuál es la raíz cuadrada de nueve, es fácil, ¿verdad? La respuesta es tres, aunque también podría ser tres negativos", ya que multiplicar dos negativos da como resultado un positivo .
Pero, ¿cuál es la raíz cuadrada de uno negativo? ¿Hay un número, cuando se multiplica por sí mismo, que le da en negativo? "En un nivel, no existe tal número", dice Moore.
Pero a los matemáticos del Renacimiento se les ocurrió una forma inteligente de solucionar ese problema. "Antes de que inventáramos los números negativos, no existía tal número que fuera dos menos siete", continúa Moore. "Entonces, tal vez deberíamos inventar un número que sea raíz cuadrada de uno negativo. Démosle un nombre. I " .
Una vez que se les ocurrió el concepto de un número imaginario, los matemáticos descubrieron que podían hacer cosas realmente interesantes con él. Recuerde que multiplicar un número positivo por un número negativo es igual a un negativo, pero multiplicar dos negativos entre sí equivale a un positivo. Pero, ¿qué sucede cuando comienzas a multiplicar i por siete y luego por i nuevamente? Como i multiplicado por i es uno negativo, la respuesta es siete menos. Pero si se multiplica siete veces i veces i veces i veces i , de repente aparece positivo siete. "Se anulan entre sí", señala Moore.
Ahora piensa en eso. Tomó un número imaginario, lo insertó en una ecuación varias veces y terminó con un número real que usa comúnmente en el mundo real.
Los números imaginarios son puntos en un plano
No fue hasta unos pocos cientos de años después, a principios del siglo XIX, que los matemáticos descubrieron otra forma de entender los números imaginarios, al pensar en ellos como puntos en un plano, explica Mark Levi . Es profesor y director del departamento de matemáticas de la Penn State University y autor del libro de 2012 "Por qué los gatos aterrizan en sus pies: y otras 76 paradojas y acertijos físicos".
Cuando pensamos en los números como puntos en una línea y luego agregamos una segunda dimensión, "los puntos en ese plano son los números imaginarios", dice.
Visualiza una recta numérica. Cuando piensas en un número negativo, está a 180 grados de los números positivos en la línea. "Cuando multiplicas dos números negativos, sumas sus ángulos, 180 grados más 180 grados, y obtienes 360 grados. Por eso es positivo", explica Levi.
Pero no puedes poner la raíz cuadrada de uno negativo en ningún lugar del eje X. Simplemente no funciona. Sin embargo, si crea un eje Y que es perpendicular a la X, ahora tiene un lugar para colocarlo.
Y aunque los números imaginarios parecen solo un montón de deslumbramientos matemáticos, en realidad son muy útiles para ciertos cálculos importantes en el mundo tecnológico moderno, como calcular el flujo de aire sobre el ala de un avión o averiguar el consumo de energía. de la resistencia combinada con la oscilación en un sistema eléctrico. Y el Robert Langdon ficticio no nos estaba tomando el pelo cuando mencionó que también se utilizan en criptografía.
Los números complejos con componentes imaginarios también son útiles en física teórica, explica Rolando Somma , un físico que trabaja en algoritmos de computación cuántica en el Laboratorio Nacional de Los Alamos.
"Debido a su relación con las funciones trigonométricas, son útiles para describir, por ejemplo, funciones periódicas", dice Somma por correo electrónico. "Estos surgen como soluciones a las ecuaciones de onda, por lo que usamos números complejos para describir varias ondas, como una onda electromagnética. Por lo tanto, como en matemáticas, el cálculo complejo en física es una herramienta extremadamente útil para simplificar los cálculos".
Los números complejos también tienen un papel en la mecánica cuántica, una teoría que describe el comportamiento de la naturaleza a escala de átomos y partículas subatómicas.
"En la mecánica cuántica, 'i' aparece explícitamente en la ecuación de Schrödinger ", explica Somma. "Por lo tanto, los números complejos parecen tener un papel más fundamental en la mecánica cuántica en lugar de servir simplemente como una herramienta de cálculo útil".
"El estado de un sistema cuántico se describe por su función de onda", continúa. "Como solución a la ecuación de Schrodinger, esta función de onda es una superposición de ciertos estados, y los números que aparecen en la superposición son complejos. Los fenómenos de interferencia en física cuántica, por ejemplo, pueden describirse fácilmente usando números complejos".
Eso es interesante
Los números imaginarios también se mencionan en la novela de 2012 de Thomas Pynchon " Against the Day ".
