Bravo nelle statistiche? 2 problemi complicati.

Problema 1: Qual è la probabilità, P, che una famiglia abbia 2 ragazze, dato che hanno 1 ragazza?

Ho visto per la prima volta questo problema nel video con timestamp qui sotto del Dr. Bazett, quando cercavo di conoscere il Teorema di Bayes. "Facile!" Ho pensato. "Dato che hanno già una ragazza... P(2 ragazze | 1 ragazza) = P(ragazza) = 50%." Sono rimasto scioccato quando ho visto che la risposta in realtà è 1/3.

"Dove ho sbagliato?!" ho farfugliato. Passano 5 minuti. La matematica era così semplice, così elegante, non potevo aver commesso un errore. Finché non mi ha colpito.

GIÀ. "Dato che hanno già una ragazza."

Avevo inconsapevolmente fatto un'ipotesi sull'ordine dei dati. Ho pensato che avessero prima una ragazza , credendo quindi che le uniche combinazioni di bambini possibili fossero GG e GB, il che significa che P(2 ragazze | 1 ragazza)=50% è corretto! Tranne che da nessuna parte si dice che la "ragazza data" doveva essere la prima, il che significa che le possibilità corrette sono BG, GB, GG e P (2 ragazze | 1 ragazza) = 1/3.

Lezione: non assumere implicitamente l'ordine dei dati

Problema 2: ti viene dato $ 1 dollaro e una moneta magica. Se giri la testa, raddoppi i soldi. Se esce croce, lo dimezzi. Qual è la quantità di denaro prevista dopo 1 lancio?

Questa domanda viene da All of Statistics , una fantastica lettura del Dr. Wasserman.

Quando mi sono avvicinato per la prima volta a questo problema, ho pensato che la probabilità che la moneta esca testa e croce è del 50% ciascuna, quindi metà delle volte esce testa e l'altra metà croce. Pertanto, il denaro raddoppierebbe a $ 2 e dimezzerebbe a $ 1 (o dimezzerebbe a 50 centesimi e poi raddoppierebbe a $ 1). Quindi, ho concluso [denaro dopo 1 lancio] = $1.

Mi sbagliavo.

La risposta corretta è una media ponderata dei risultati: [ d dopo 1 lancio] = doppio ⋅ P(testa) + dimezza ⋅ P(croce) = $2 ⋅ P(testa) + $0,5 ⋅ P(croce) = $1,25

Sostenere. Come potrebbero i soldi essere $ 1,25??? Il denaro può solo raddoppiare o dimezzare, quindi deve essere un multiplo di $ 1 (ad esempio, $ 0,5, $ 1, $ 2, $ 4). Intuitivamente, la mia logica sembra solida, quindi dove ho sbagliato?

Si scopre che stavo pensando al "valore atteso" in modo errato in due modi :

1. Il valore atteso in realtà significa: "Se dovessi ripetere questo esperimento infinite volte, qual è la media di tutte quelle prove?" (Vedi Figura 2) Il mio errore iniziale è stato quello di continuare a lanciare la stessa moneta, ovvero raddoppiare a $ 2 e poi dimezzare a $ 1. Invece, ogni singolo lancio dovrebbe essere indipendente dagli altri.
2. Controintuitivamente, la media può essere un valore impossibile per la distribuzione. Ad esempio, il denaro non può mai essere $ 1,25: raddoppierà solo a $ 2 o si dimezzerà a $ 0,5, tuttavia il "valore medio/medio/previsto" è una somma ponderata dei risultati . Un altro esempio: in una distribuzione di Bernoulli il risultato può essere solo 0 o 1, ma il valore medio/previsto della distribuzione è [X] = 0.5

import functools
import random

random.seed(1)
 
# 0 = tails, 1 = heads
trials = [random.randint(0,1) for i in range(100000)]

# Way 1: Weighted Average
probability_tails = trials.count(0) / len(trials)
probability_heads = trials.count(1) / len(trials)

# Way 2: Normal Average
sum = functools.reduce(lambda x,y: x + (2 if y == 1 else 0.5), trials)
average = sum / len(trials)

# Compare results
print(2*probability_heads + 0.5*probability_tails) # 1.2497
print(average) # 1.2497

• Il valore/media/media atteso di un esperimento significa "ripeti questo esperimento molte volte: qual è la media tra tutte le prove?" Si noti inoltre che ogni singola prova dovrebbe essere indipendente dalle altre.
• Il valore medio/medio/previsto può essere un valore che non è nemmeno nella distribuzione stessa!

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