단순해 보이는 물체의 수학은 놀라울 정도로 복잡할 수 있습니다. 뫼비우스 띠보다 더 좋은 예는 없을 것입니다.
종이를 꼬아서 끝부분을 테이프로 연결하기만 하면 만들 수 있는 단면 오브제입니다. 손가락으로 루프를 따라 가다 보면 여정을 따라 루프의 전체 표면을 만지고 결국 시작한 곳으로 되돌아갑니다. 이 간단한 창조물인 뫼비우스 띠는 전체 위상학 분야의 기본이며 다양한 수학적 원리의 전형적인 예입니다.
이러한 원칙 중 하나는 비 방향성(nonorientability )입니다. 이는 수학자들이 물체에 좌표를 할당할 수 없는 상태(예: 위 또는 아래 또는 좌우)입니다. 과학자들은 우주가 방향성을 가질 수 있는지 완전히 확신하지 못하기 때문에 이 원리는 몇 가지 흥미로운 결과를 낳습니다.
이것은 복잡한 시나리오를 제시합니다. 우주 비행사를 태운 로켓이 충분히 오랫동안 우주로 날아갔다가 우주가 방향을 바꿀 수 없다고 가정하고 돌아올 경우, 탑승한 모든 우주 비행사가 거꾸로 돌아올 가능성이 있습니다.
다시 말해 우주비행사들은 완전히 뒤집어진 자신의 거울상으로 되돌아오는 것이다. 그들의 마음은 왼쪽보다 오른쪽에 있을 것이고 그들은 오른쪽보다 왼쪽에 있을 것입니다. 우주 비행사 중 한 명이 비행 전에 오른쪽 다리를 잃었다면, 돌아올 때 우주 비행사는 왼쪽 다리를 잃었을 것입니다. 이것은 뫼비우스의 띠처럼 방향이 없는 표면을 횡단할 때 일어나는 일입니다.
바라건대 당신의 마음이 날아가는 동안 – 최소한 약간 – 우리는 한 발 물러나야 합니다. 뫼비우스의 띠는 무엇이며 어떻게 단순히 종이를 비틀어서 그렇게 복잡한 수학을 가진 물체를 만들 수 있습니까?
뫼비우스 스트립의 역사
뫼비우스 띠(때로는 "뫼비우스 띠"로 쓰임)는 1858년 독일 수학자 아우구스트 뫼비우스가 기하학 이론을 연구하던 중 처음 발견했습니다 . 뫼비우스가 발견(따라서 띠의 이름)에 크게 기여한 반면, 요한 리스팅이라는 수학자에 의해 거의 동시에 발견되었습니다. 그러나 그는 그의 작품 출판을 미루고 아우구스트 뫼비우스에게 두들겨 맞았다.
스트립 자체 는 밴드에 반 비틀림을 추가하여 생성된 방향이 없는 한 면으로 간단히 정의 됩니다. 뫼비우스 띠는 홀수 개의 반 꼬임이 있는 띠가 될 수 있으며, 이는 궁극적으로 띠가 한쪽 면만 갖게 되고 결과적으로 한 쪽 가장자리만 갖게 됩니다.
발견된 이래로 단면 스트립은 예술가와 수학자에게 매료되었습니다. 스트립은 MC Escher의 마음을 사로잡았고 그의 유명한 작품인 "Möbius Strip I & II"로 이어 졌습니다.
뫼비우스 띠의 발견은 또한 물체가 변형되거나 늘어나도 변하지 않는 기하학적 특성에 대한 연구인 수학적 위상학 분야의 형성에 기초가 되었습니다 . 위상수학은 미분 방정식 및 끈 이론과 같은 수학 및 물리학의 특정 영역에 필수적입니다.
예를 들어 지형 원칙에 따라 머그는 실제로 도넛 입니다. 수학자이자 예술가인 Henry Segerman 은 YouTube 비디오에서 이에 대해 가장 잘 설명합니다 . "커피 머그를 가져 가면 커피가 들어가는 곳의 움푹 들어간 곳을 풀 수 있고 손잡이를 약간 찌그러뜨릴 수 있고 결국에는 그것을 변형시킬 수 있습니다. [a] 대칭 원형 도넛 모양으로." (토폴로지스트란 도넛과 커피잔의 차이를 못느끼는 사람이라는 농담을 설명해준다.)
뫼비우스 띠의 실용적인 용도
뫼비우스 띠는 단순한 수학적 이론 그 이상입니다. 더 복잡한 물체에 대한 교육 보조 도구로든 기계에서든 간에 멋진 실용적인 응용 프로그램이 있습니다.
예를 들어, 뫼비우스 스트립은 물리적으로 한면이기 때문에 컨베이어 벨트 및 기타 응용 분야에서 뫼비우스 스트립을 사용하면 벨트 자체가 수명 내내 고르지 않게 마모되지 않습니다. 호주 뉴사우스웨일즈 대학교 수학부의 NJ Wildberger 부교수 는 강의 시리즈 에서 "벨트를 양쪽에 균일하게 착용하기 위해 의도적으로" 기계의 구동 벨트에 종종 비틀림이 추가된다고 설명했습니다 . 뫼비우스 띠는 건축에서도 볼 수 있습니다(예: 중국의 Wuchazi Bridge).
중학교 수학 교사이자 전 광학 엔지니어 인 Dr. Edward English Jr.는 초등학교 때 뫼비우스 띠에 대해 처음 알게 되었을 때 선생님이 종이로 뫼비우스 띠를 만들고 길이를 따라 뫼비우스 띠를 자르게 했다고 말합니다. 두 개의 완전한 비틀림이 있는 더 긴 스트립.
"이 두 '상태' 개념에 흥미를 느끼고 노출된 것이 전자의 업/다운 스핀을 만났을 때 도움이 된 것 같습니다."라고 그는 자신의 박사 학위를 언급하며 말합니다. 연구. "다양한 양자 역학 아이디어는 뫼비우스 띠가 나에게 그러한 가능성을 소개했기 때문에 받아들이고 이해하기에는 그렇게 이상한 개념이 아니었습니다." 많은 사람들에게 뫼비우스 띠는 복잡한 기하학 과 수학 의 첫 입문서 역할 을 합니다 .
뫼비우스 띠는 어떻게 만드나요?
뫼비우스 띠를 만드는 것은 매우 쉽습니다. 종이 한 장을 1인치 또는 2인치 너비(2.5-5센티미터)의 얇은 스트립으로 자르기만 하면 됩니다. 스트립을 자르면 끝 중 하나를 180도 비틀거나 반 비틀기 만하면됩니다. 그런 다음 테이프를 가져 와서 그 끝을 다른 쪽 끝에 연결하여 내부에 반 꼬임으로 고리를 만듭니다. 이제 뫼비우스의 띠만 남았습니다!
손가락을 잡고 스트립의 측면을 따라가면 이 모양의 원리를 가장 잘 관찰할 수 있습니다. 결국 모양을 완전히 만들고 손가락이 시작된 곳으로 돌아갑니다.
뫼비우스 띠를 전체 길이를 따라 가운데로 자르면 4개의 반 꼬임이 있는 더 큰 고리가 하나 남습니다. 이렇게 하면 뒤틀린 원형 모양이 남지만 여전히 양면이 있는 모양입니다. Dr. English가 언급한 이 이중성은 그가 더 복잡한 원리를 이해하는 데 도움이 되었습니다.
이제 멋지다
뫼비우스 띠 의 길을 따라 베이글을 자르면 두 개의 연결된 베이글 링이 남습니다. 뿐만 아니라 베이글을 반으로 자르는 것보다 커트면이 넓어져 베이글에 크림치즈를 더 발라 먹을 수 있다.
