Trig에서 단위 원을 사용하는 방법

단위 원은 길이가 1 인 반지름을 가진 원입니다. 그러나 종종 다른 종과 휘파람이 함께 제공됩니다.

단위 원은 사인, 코사인 및 탄젠트로 알려진 직각 삼각형 관계를 정의하는 데 사용할 수 있습니다. 이러한 관계는 직각 삼각형의 각과 변이 서로 관련되는 방식을 설명합니다. 예를 들어 각도가 30도이고 가장 긴 변 또는 빗변의 길이가 7 인 직각 삼각형이 있다고 가정합니다. 미리 정의 된 직각 삼각형 관계를 사용하여 삼각형의 나머지 두 변의 길이를 알아낼 수 있습니다. .

삼각법으로 알려진이 수학 분야는 건설, GPS, 배관, 비디오 게임, 엔지니어링, 목수 작업 및 항공 비행 항법과 같은 일상적인 실용적인 응용 프로그램을 가지고 있습니다.

표준 단위 원을 외우려면 세 가지 주요 구성 요소를 기억할 수 있어야합니다.

우리를 돕기 위해 Unit Pizza Palace 로의 여행을 떠 올릴 것입니다. 보지 않고도 암송 할 수있을 때까지 잠시 시간을내어 다음을 암기하십시오.

1 단계 : 피자 조각 4 개

피자 한 개를 짝수 4 개로 자른다 고 상상해보세요. 수학에서는이 네 부분을 원 사분면 이라고 부를 것입니다 .

(x, y) 좌표를 사용하여 원의 바깥 쪽 가장자리를 따라 모든 점을 설명 할 수 있습니다. x 좌표는 중심에서 왼쪽 또는 오른쪽으로 이동 한 거리를 나타냅니다. y 좌표는 위아래로 이동 한 거리를 나타냅니다. x 좌표는 점, 원점 및 x 축에 의해 형성된 각도 의 코사인 입니다. y 좌표는 각도 의 사인 입니다.

단위 원에서 원의 중심에서 바로 이동하는 직선은 좌표 (1, 0)에서 원의 가장자리에 도달합니다. 대신 위, 왼쪽 또는 아래로 이동하면 각각 (0, 1), (-1, 0) 또는 (0, -1)에서 둘레를 터치합니다.

4 개의 연관된 각도 (도가 아니라 라디안)의 분모는 모두 2입니다. (라디안은 반지름 을 가져와 원을 감쌀 때 만들어지는 각도입니다. 각도는 이동 한 거리에 따라 각도를 측정합니다. 원은 360도 또는 2π 라디안).

분자는 0에서 시작하여 좌표 (1,0)에서 시작하여 시계 반대 방향으로 1π 씩 증가합니다. 이 프로세스는 0π / 2, 1π / 2, 2π / 2 및 3π / 2를 산출합니다. 이 분수를 단순화하여 0, π / 2, π 및 3π / 2를 얻습니다.

2 단계 : 6 달러에 파이 3 개

"3 파이"로 시작하십시오. y 축을보세요. y 축의 오른쪽과 왼쪽에 직접 라디안 각도는 모두 3의 분모를 갖습니다. 나머지 각도에는 π로 쓰여진 수학적 값 pi를 포함하는 분자가 있습니다.

"6 파이 3 개"는 표준 단위 원의 나머지 12 개 각도를 불러오는 데 사용되며 각 사분면에 3 개의 각도가 있습니다. 각 각은 분수로 기록됩니다.

"6 달러"는 각 사분면에서 나머지 분모가 4와 6이라는 것을 상기시키는 것입니다.

이 단계에서 가장 까다로운 부분은 각 분수의 분자를 완성하는 것입니다.

2 사분면 (원의 왼쪽 상단)에서 π 앞에 2, 3, 5를 차례로 놓습니다.

2 사분면의 첫 번째 각도는 2π / 3입니다. 분자에 2를 더하고 분모에 3을 더하면 5가됩니다. 4 사분면 (원의 오른쪽 아래 1/4)에서 직선으로 가로 지르는 각도를보십시오. 이 5를 π 앞의 분자에 넣으십시오. 사분면 2와 4의 다른 두 각도에 대해이 과정을 반복합니다.

사분면 1 (오른쪽 상단)과 3 (왼쪽 하단)에 대해 동일한 프로세스를 반복합니다. x가 1x와 같은 것처럼 π는 1π와 같습니다. 따라서 1 사분면의 모든 분모에 1을 더합니다.

각도를 라디안 대신도 단위로 나열하는 프로세스는이 문서의 끝에 설명되어 있습니다.

3 단계 : 정사각형 테이블 2 개

"2 정사각형 테이블"의 "2"는 나머지 12 개 좌표 쌍의 분모가 2임을 알려줍니다.

"제곱"은 모든 좌표의 분자에 제곱근이 포함되어 있음을 상기시키는 것입니다. 우리는 일을 단순화하기 위해 사분면 1부터 시작합니다. (힌트 : 1의 제곱근은 1이므로이 분수는 1/2로 단순화 할 수 있습니다.)

4 단계 : 1, 2, 3

"1, 2, 3"은 각 제곱근 아래의 숫자의 연속을 보여줍니다. 사분면 1의 x 좌표의 경우 상단 좌표에서 시작하여 아래로 내려 가면서 1에서 3까지 계산합니다.

y 좌표는 동일한 분자를 갖지만 아래쪽에서 위쪽으로 반대 방향으로 1에서 3까지 계산됩니다.

2 사분면은 1 사분면과 동일한 좌표를 갖지만 x 좌표는 음수입니다.

사분면 3은 사분면 1에서 x 및 y 좌표를 전환합니다. 모든 x 및 y 좌표도 음수입니다.

사분면 3과 마찬가지로 사분면 4도 x 및 y 좌표를 사분면 1에서 전환합니다. 그러나 y 좌표 만 음수입니다.

각도의 각도

라디안 대신 각도를 기준으로 각도를 참조 할 수 있습니다. 이렇게하려면 좌표 (1,0)에서 0도에서 시작합니다. 여기에서 30, 15, 15, 30을 더할 것입니다. 1 사분면에서 30을 더하면 30이되고, 15에서 30을 더하면 45가되고, 15에서 45를 더하면 60이되고, 30에서 60을 더하면 90.

그런 다음 원의 끝에 도달 할 때까지 30, 15, 15, 30을 더하여 나머지 사분면에 대해 프로세스를 반복합니다. 따라서 4 사분면의 각도는 270도에서 330도 사이입니다 (그림 10 참조).

실천에 옮기기

기사 앞부분에서 30도 각도의 직각 삼각형에서 가장 긴 변 또는 빗변의 길이가 7 인 알 수없는 두 변을 찾기 위해 단위 원을 사용할 수 있다고 언급했습니다. 한번 시도해 보겠습니다.

단위 원에서 30 °가 어디에 있는지 기록하십시오. 이 선과 x 축을 사용하여 다음과 같이 삼각형을 만듭니다.

단위 원에서 원의 중심에서 시작하여 둘레에서 끝나는 모든 선의 길이는 1입니다. 따라서이 삼각형의 가장 긴 변의 길이는 1입니다. 직각 삼각형의 가장 긴 변은 다음과 같습니다. "빗변"이라고도합니다. 빗변이 원의 둘레에 닿는 지점은 √3 / 2, 1/2입니다.

따라서 삼각형의 밑면 (x 축)의 길이는 √3 / 2이고 삼각형의 높이는 1/2입니다.

그것에 대해 생각하는 또 다른 방법은 밑변이 빗변 길이의 √3 / 2 배이고 높이가 빗변 길이의 1/2 배라는 것입니다.

따라서 빗변의 길이가 7이면 삼각형 밑은 7 x √3 / 2 = 7√3 / 2가됩니다. 삼각형 높이의 길이는 7 x 1/2 = 7/2입니다.

이제 흥미 롭 네요

삼각법은 원래 천문학, 별 연구 및 태양계를 이해하기 위해 기원전 1 세기에 개발 된 것으로 생각됩니다. NASA 및 민간 우주 운송 회사와 같은 우주 탐사에 여전히 사용됩니다.