Czemu $\mathbb{E}[X\mid \sigma(\mathcal{H},\mathcal{E})]=\mathbb{E}[X\mid \mathcal{H}]$?

Question

Mój problem:

Przypuszczać $\mathcal{E}$ i $\mathcal{H}$ są pod-$\sigma$-algebry klasy $\sigma$-algebra $\mathcal{F}$. Pozwolić$X \in L^1(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ i $\sigma(X)=\{X^{-1}(A): A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \}$. Przypuszczam, że$\mathcal{E}$ jest niezależny od $\sigma(\mathcal{H},\sigma(X))$.

Następnie $$\mathbb{E}[X\mid \sigma(\mathcal{H},\mathcal{E})]=\mathbb{E}[X\mid \mathcal{H}]$$

Moja próba:

Próbowałem użyć charakteryzacji $\mathbb{E}[XZ]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid \mathcal{H}]Z]$ dla wszystkich $\mathcal{H}$mierzalna i ograniczona zmienna losowa lub $\mathbb{E}[XZ]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid \sigma(\mathcal{H},\sigma(X))]Z]$ dla wszystkich $\sigma(\mathcal{H},\sigma(X))$mierzalna i ograniczona zmienna losowa.

Answer 1

To dobrze znany wynik Dooba.

Twierdzenie: niech$\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$ i $\mathscr{C}$ być sub-$\sigma$--algebry z $\mathscr{F}$. $\mathscr{A}\perp_\mathscr{C} \mathscr{B}$ iff $$ \begin{align} \Pr[A|\sigma(\mathscr{C},\mathscr{B})]=\Pr[A|\mathscr{C}]\tag{1}\label{doob-independence} \end{align} $$ dla wszystkich $A\in \mathscr{A}$.

Oto dowód strzału:

Przypuszczam, że $\mathscr{A}$ i $\mathscr{B}$ są warunkowe niezależne dane $\mathscr{C}$, to jest $$ \Pr[A\cap B|\mathscr{C}]=\Pr[A|\mathscr{C}] \Pr[B|\mathscr{C}] $$ dla wszystkich $A\in \mathscr{A}$ i $B\in \mathscr{B}$. Następnie dla każdego$A\in\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$ i $C\in\mathscr{C}$ mamy $$ \begin{align} \Pr\big[A\cap\big(C\cap B)\big]&=\Pr\big[ \mathbb{1}_C\Pr[A\cap B|\mathscr{C}]\big]= \Pr\big[\mathbb{1}_C\Pr[A|\mathscr{C}]\Pr[B|\mathscr{C}]\big]\\ &= \Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\Pr[B\cap C|\mathscr{C}]\big]= \Pr\Big[\Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\mathbb{1}_{B\cap C}\big|\mathscr{C}\big]\Big]\\ &= \Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\mathbb{1}_{B\cap C}\big] \end{align} $$ Od $\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})=\sigma\Big(\{B\cap C: B\in\mathscr{B}, C\in\mathscr{C}\}\Big)$, monotonny argument klasy to pokazuje $$ \begin{align} \Pr[A\cap H]=\Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\mathbb{1}_H \big] \end{align} $$ dla wszystkich $H\in\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})$. To znaczy że$$ \Pr[A|\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})]=\Pr[A|\mathscr{C}] $$

I odwrotnie, przypuśćmy, że $\eqref{doob-independence}$trzyma. Dla każdego$A\in\mathscr{A}$ i $B\in\mathscr{B}$ mamy \begin{align*} \Pr[A\cap B|\mathscr{C}]=\Pr\Big[\mathbb{1}_{B}\Pr[A|\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})]\Big| \mathscr{C}\Big]= \Pr\Big[\mathbb{1}_B\Pr[A|\mathscr{C}]\Big|\mathscr{C}\Big] =\Pr[A|\mathscr{C}]\Pr[B|\mathscr{C}] \end{align*} To pokazuje że $\mathscr{A}$ i $\mathscr{B}$ są niezależne $\mathscr{C}$.

Rozszerzenie na zmienne losowe odbywa się najpierw przez rozszerzenie do prostych funkcji, a następnie przez zwykłe przybliżenie monotoniczne za pomocą prostych funkcji.