Czy 4-pęd jest wektorem czy 1-formą?
To jest kontynuacja https://physics.stackexchange.com/a/576885/117014. Jeśli nie rozważymy wektora i jego „kanonicznie” podwójnej postaci 1 jako reprezentacji tego samego obiektu, to wydaje się, że powinniśmy być w stanie powiedzieć, czy na przykład 4-pęd jest wektorem, czy 1-formą. Mógłbym zapytać to samo o tensor pola elektromagnetycznego, ale pęd wydaje się być dobrym punktem wyjścia. Zwykle myślę o sile jako o postaci 1, ponieważ w czystej mechanice klasycznej jest ona ujemną wartością gradientu potencjału (Zapytaj Susskinda). Ponieważ siła jest również pochodną czasu pędu, wydaje się rozsądne uznać pęd za 1-forma. Ale możemy również myśleć o pędzie jako o iloczynu masy z 4 prędkościami, czyli 4-wektorem.
Więc jeśli wektor i jego podwójna forma 1 nie mają być postrzegane jako różne reprezentacje tego samego obiektu, pęd musi być jednym lub drugim. Albo to, albo mamy dwa różne obiekty geometryczne reprezentujące pęd.
Który to jest?
Odpowiedzi
Dla mnie najbardziej naturalną definicją pędu jest formalizm Lagrange'a, który daje jedną formę $p_\mu = \frac{\partial L}{\partial \dot x^\mu}$. Biorąc standardowy Lagrangian
$$L(x, \dot x) = m\sqrt{g_{\mu\nu} \dot x^\mu \dot x^\nu}$$ (gdzie rozróżnia się właściwy czas), wynika z tego $p_\mu = g_{\mu\nu} m\dot x^\nu$. Biorąc to pod uwagę, jest to wyraźnie brat 4-wektorowego$\tilde{p}^\mu = m \dot x^\mu$, z indeksem podniesionym / obniżonym za pomocą metryki.
Z punktu widzenia Lagrangianu, jeśli dodamy człon energii potencjalnej, wówczas równania ruchu Lagrange'a przyjmą postać
$$\frac{d}{d\tau} p_\mu = -\frac{\partial U}{\partial x^\mu} \equiv f_\mu$$więc jak mówisz, z tej perspektywy siła jest naturalnie jednokształtowa. Ale znowu, metryka zapewnia nam izomorfizm, więc rozwiązywanie
$$\frac{d}{dt}p_\mu = f_\mu$$ i $$\frac{d}{d\tau} \tilde{p}^\mu =g^{\mu\nu} f_\nu \equiv \tilde{f}^\mu$$
są ostatecznie równoważne.
Jeśli weźmiemy pod uwagę mityczną klasyczną masę punktową, ma ona 4-pęd określony przez swoją masę i linię świata. Nazywam to obiektem „priorytetowym”. Istnieje przed jakąkolwiek rozmaitą parametryzacją lub metryką (lub obserwacją).
Ok, w porządku. Mówisz o$p^\mu = m \dot x^\mu$. To wyrażenie jest doskonale zdefiniowane i nie jest potrzebna żadna dodatkowa struktura.
Niezależnie od tego, czy wyrażamy to kowariantnie, czy przeciwstawnie, wyrażenie odnosi się do tej samej istoty fizycznej.
Bez metryki (lub innej struktury, która zapewnia podobny izomorfizm), nie można „wyrazić jej kowariantnie”. Pęd, o którym wspomniałeś wcześniej, jest dobrze zdefiniowany sam w sobie, ale nie możesz go zmapować do współwektora bez pośredniego wyboru metryki (lub innej mapy obniżającej indeks).
Zazwyczaj piszę momentum kowariantnie. Ale nie mam argumentu ontologicznego, by uważać to za nieodłączną właściwość pędu.
W tym celu musisz bardziej szczegółowo określić, co rozumiesz przez pęd. Jeśli mówisz o masie pomnożonej przez 4-prędkość, to jest 4-wektor. Jeśli mówisz o pędu kanonicznym, który jest sprzężony z pozycją w obrazach Lagrangianu lub Hamiltona, i którego komponenty przestrzenne (i) działają jak nieskończenie małe generatory tłumaczeń przestrzennych , oraz (ii) są zachowane w obecności symetrii translacji przestrzennej , to ten obiekt jest kowektorem.
Jako konkretny przykład rozważmy płaską przestrzeń czasoprzestrzeni FLRW, w której
$$ds^2= c^2dt^2 - a^2(t)\big(dx^2+dy^2+dz^2\big)$$
Ta metryka jest jednorodna i izotropowa, co oznacza zachowanie 3 pędu. Tak jednak nie jest$p^k = m \dot x^k,\ k=1,2,3$ który jest zachowany, ale raczej $p_k = -a^2(t)m\dot x^k$.