Czy kategorie funktorów z triangulowanymi kodami są triangulowane?
Jestem dość przekonany, że następujące stwierdzenie jest prawdziwe (ale przyznam się, że nie weryfikowałem jeszcze aksjomatu ośmiościennego):
Pozwolić $T$ być kategorią triangulowaną i $C$dowolna kategoria (powiedzmy mała, aby nie niepokoić moich przyjaciół-teoretyków zbiorów). Następnie kategoria funktorów$C \to T$ dziedziczy naturalną trójkątną strukturę po T.
Przez „naturalne” i „dziedziczy” mam na myśli przesunięcie mapy $[1]$ w naszej kategorii funktorów wysyła każdy $F:C \to T$ do funktora $F[1]$ dogadzający $F[1](c) = F(c)[1]$ na każdym obiekcie $c$ z $C$; i podobnie wyróżnione trójkąty funktorów$$F \to G \to H \to F[1]$$ są dokładnie tymi, dla których nad każdym przedmiotem $c$ z $C$ mamy wyróżniony trójkąt w $T$ formularza $$F(c) \to G(c) \to H(c) \to F[1](c).$$
Główne pytanie brzmi, czy zostało to zapisane w jakiejś standardowej książce lub papierze (nie mogłem tego znaleźć na przykład w Gelfand-Manin). Być może jest to uważane za zbyt oczywiste i zdegradowane do podstawowego ćwiczenia. Przede wszystkim interesuje mnie dziedziczenie struktur T i serc z$T$ do kategorii funktorów $C \to T$i byłby wdzięczny za wszelkie dostępne referencje dotyczące takich spraw.
Odpowiedzi
Oświadczenie jest fałszywe.
Na przykład weź $C=[1]\times [1]$ być kwadratem i $\mathcal{T} = h\mathsf{Sp}$być kategorią homotopii widm. Rozważmy teraz kwadrat$X$ z $X(0,0) = S^2$, $X(1,0) = S^1$, a druga ma wartość zero, a drugi kwadrat $Y$ z $Y(1,0) = S^1$ i $Y(1,1) = S^0$. Weź mapy$S^2 \to S^1$ i $S^1 \to S^0$ być $\eta$i rozważ naturalną przemianę $X \to Y$ który jest mnożony przez 2 na $X(1,0)=S^1 \to S^1 = Y(1,0)$.
Gdyby ta mapa miała kofiber, to od początkowego do końcowego wierzchołka otrzymalibyśmy mapę $S^3 \to S^0$. Podążając za kwadratem w jednym kierunku, widzimy, że mielibyśmy przedstawiciela dla wspornika Toda$\langle \eta, 2, \eta\rangle$. Idąc w drugą stronę, bierzemy pod uwagę zero. Ale ten wspornik Toda składa się z klas$2\nu$ i $-2\nu$; w szczególności nie zawiera zera.
[Oczywiście, ten przykład można uogólnić na dowolny nietrywialny wspornik Toda / produkt Massey w dowolnej kategorii triangulacji, którą lepiej znasz.]
Rzeczywiście, nawias Toda jest właśnie przeszkodą w „wypełnianiu sześcianu” dla naturalnej transformacji $X \to Y$.
W każdym razie - jest to jeden z wielu powodów, dla których warto porzucić triangulowane kategorie na rzecz jednej z wielu nowoczesnych alternatyw (np. Stabilnej $\infty$-kategorie, derywatory itp.).
Jeśli chodzi o konstrukcje typu T i tak dalej, w krainie stajni $\infty$-kategorie, do których łatwo trafić. (Zobacz np. Wyższa Algebra, sekcja 1.2.1 i Propozycja 1.4.4.11, aby zapoznać się z różnymi sztuczkami służącymi do ich budowania).
Przykład Dylana Wilsona jest doskonały. Pozwólcie, że przedstawię inny, bardziej algebraiczny i „skończony”.
Moim zdaniem najprostsza triangulowana kategoria $\mathcal{T}$ jest kategorią skończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych nad ciałem $k$, z funktorem zawieszenia tożsamości (aka translacja) i $3$-okresowe długie dokładne sekwencje jako dokładne trójkąty. (W rzeczywistości jest to jedyna triangulowana konstrukcja$\mathcal{T}$ aż do równoważności.)
Pozwolić $C_2$ być cykliczną grupą porządku $2$(traktowane jako kategoria z tylko jednym przedmiotem). Następnie kategoria funktorów$\mathcal{T}^{C_2}$ jest kategorią nieskończenie generowanych modułów w algebrze grup $k[C_2]$. To jest to samo, co kategoria nieskończenie generowanych modułów rzutowych w tak zwanej algebrze Auslandera$B$ z $k[C_2]$. W rezultacie Freyd, jeśli$\mathcal{T}^{C_2}$ zostały wtedy poddane triangulacji $B$ byłby samowstrzyknięty.
Gdyby $k$ ma charakterystyczne $2$, $k[C_2]\cong k[\epsilon]/(\epsilon^2)$ jest algebrą liczb podwójnych i $B$ jest algebrą endomorfizmu funkcji $k[\epsilon]/(\epsilon^2)$-moduł $k\oplus k[\epsilon]/(\epsilon^2)$. To$B$nie jest samowstrzyknięty. Rzeczywiście, od$k$ ma charakterystyczne $2$, $k[\epsilon]/(\epsilon^2)$ nie jest więc półproste, więc $B$ ma wymiar globalny $2$. Gdyby$B$ gdyby były samowstrzyknięte, miałyby również wymiar globalny $0$ lub $\infty$.
Myślę, że mam prostszy kontrprzykład, którego nauczyłem się z kursu Paula Balmera na temat geometrii tensorowo-trójkątnej zeszłej wiosny:
Claim Kategoria strzałki$\mathcal{T}^{\bullet \to \bullet}$ kategorii triangulowanej $\mathcal{T}$ nigdy nie ma żadnej struktury trójkątnej, chyba że$\mathcal{T} = 0$. Właściwie nawet nie potrzebujemy$\mathcal{T}$ do triangulacji tutaj: jeśli $\mathcal{T}$ to jakakolwiek kategoria dodatku, taka że $\mathcal{T}^{\bullet \to \bullet}$ jest więc triangulowany $\mathcal{T} = 0$.
Dowód: przypuśćmy$\mathcal{T}$ to taka kategoria addytywna $\mathcal{T}^{\bullet \to \bullet}$jest triangulowany. Pozwolić$a$ być dowolnym obiektem w $\mathcal{T}$, z morfizmem tożsamości $1_a : a \to a$. Pozwolić$t$ oznaczają unikalny morfizm $a \to 0$. Następnie$\require{AMScd}$ \ begin {CD} a @> 1_a >> a \\ @V 1_a VV @VV t V \\ a @ >> t> 0 \ end {CD} definiuje morfizm$\alpha : 1_a \to t$ w $\mathcal{T}^{\bullet \to \bullet}$. Zwróć na to uwagę$\alpha$jest epimorfizmem. W każdej kategorii triangulowanej wszystkie epimorfizmy są podzielone, więc niech$\beta : t \to 1_a$ być rozszczepieniem $\alpha$ (to jest, $\alpha \circ \beta$ jest morfizmem tożsamości $t$). Następnie$\beta$jest diagramem przemiennym \ begin {CD} a @> t >> 0 \\ @V f VV @VVs V \\ a @ >> 1_a> a \ end {CD} taki, że$1_a \circ f = 1_a$ (i $t \circ s = 1_0$). Widzimy to z tego i przemienności diagramu$1_a = 1_a \circ f = s \circ t$ czynniki poprzez $0$. A zatem,$a = 0$. Od$a$ był arbitralny, $\mathcal{T} = 0$.
Edycja: Oczywiście moglibyśmy uczynić to stwierdzenie jeszcze słabszym: naprawdę potrzebowaliśmy tylko tego $\mathcal{T}$ma obiekt zerowy. Ale jeśli$\mathcal{T}^{\bullet \to \bullet}$ jest więc triangulowany $\mathcal{T}$ musi być addytywny, ponieważ osadza jako dodatkową podkategorię $\mathcal{T}^{\bullet \to \bullet}$ przez $a \mapsto 1_a$.