Definicja silni

Question

Teraz zawsze intrygowała mnie silnia, na początku w liceum nauczyciele mówili mi, że silnia jest definiowana tylko dla liczb całkowitych. W miarę studiowania znalazłem silnie dodatnich liczb rzeczywistych i ujemnych ułamków. Ale całka, za pomocą której definiujemy silnię, spada płasko na ujemne liczby całkowite.

dlaczego możemy znaleźć silnię z (-1/2) i pierwiastek (3), ale nie dla -1 lub -2? Czy jest to sprzeczne z definicją silni? Jeśli tak, jaka jest definicja silni, ponieważ dzieci nigdy się jej nie uczy, a to przesłania ich rozumowanie i postrzeganie tematu.

Answer 1

Dzieci uczy się tylko silni naturalności, ponieważ definicja jest elementarna (chociaż $0!=1$ zasługuje na specjalne uwagi).

Jeśli chcesz rozszerzyć to na rzeczywiste, naturalnym sposobem jest całka

$$I_n=\int_0^\infty x^ne^{-x}dx$$ ponieważ weryfikuje nawrót

$$I_n=\int_0^\infty x^ne^{-x}dx=-\left. x^ne^{-x}\right|_0^\infty+n\int_0^\infty x^{n-1}e^{-x}dx=nI_{n-1}$$ i $I_n=n!$.

Ponieważ całka zachowuje znaczenie $n$ pozytywne prawdziwe, to jest brane za rozszerzenie.

Teraz, jeśli chodzi o negatywy, warto zachować powtarzalność

$$(n-1)!=\frac{n!}n,$$ co skutkuje nieskończonymi wartościami ujemnych liczb całkowitych.

Answer 2

Rekurencyjna definicja silni $(n+1)! = n! \cdot (n+1)$ można przeorganizować, aby wywnioskować $$n! = \dfrac{(n+1)!}{n+1}$$

To jeden ze sposobów, aby to rozwiązać $0!=1$, biorąc $n=0$w powyższym. Jeśli jednak spróbujemy i zrobimy to dla$(-1)!$, mamy problem: $$(-1)! = \dfrac{(-1+1)!}{-1+1} = \dfrac{0!}{0} = \dfrac{1}{0}$$

Ale nie możemy się dzielić $0$, więc nie możemy zdefiniować $(-1)!$.

Jak zauważono w komentarzach, funkcja gamma $\Gamma$ jest "właściwym" sposobem rozszerzenia silni na liczby niecałkowite. $\Gamma$ rozbiega się na ujemnych liczbach całkowitych, ponieważ jest wymagane do spełnienia $\Gamma(n+1) = \Gamma(n) \cdot (n+1)$, więc obowiązuje ten sam argument, co powyżej.