Dlaczego jest $1 - \lambda_{\max} (\mathrm A^\top \mathrm A) = \lambda_{\min} (\mathrm I - \mathrm A^\top \mathrm A)$

Question

Niech A będzie niekwadratową macierzą. Dlaczego następująca równość jest prawdziwa?

$$1 - \lambda_{\max} (\mathrm A^\top \mathrm A) = \lambda_{\min} (\mathrm I - \mathrm A^\top \mathrm A)$$

Próba:

Ponieważ wartość własna macierzy kwadratowej $X$, jest odwrotnością wartości własnej $X^{-1}$, mamy:

$$\lambda_{\max}(\mathrm A^\top \mathrm A) = \frac{1}{\lambda_{\min}((\mathrm A^\top \mathrm A)^{-1})}$$

Mam:

$$\lambda(I - \mathrm A^\top \mathrm A) = 1 - \lambda(\mathrm A^\top \mathrm A)$$

$$\lambda_{\min}(I - \mathrm A^\top \mathrm A) = \frac{1}{\lambda_{\max}((I - \mathrm A^\top \mathrm A)^{-1})}$$

Answer 1

To, co chcesz udowodnić, jest dość proste i dotyczy wszystkich macierzy kwadratowych, a nie tylko macierzy formularza $A^TA$. $\nu$ jest wartością własną $P$ iff $1-\nu$ jest wartością własną $I-P$. Tak więc każda wartość własna$I-P$ ma postać $\nu=1-\lambda$ gdzie $\lambda$ jest wartością własną $P$. Biorąc minimum,$\nu_\min=(1-\lambda)_\min=1-\lambda_\max$ od $1-\lambda$ jest zminimalizowane, gdy $\lambda$ jest maksymalna.