$f(xf(x)) = 2f(x)$

Question

Pytanie mówi

Znajdź wszystkie funkcje, które spełniają$$f(xf(x)) = 2f(x)$$.

Porównując stopień obu stron równania, można to łatwo zobaczyć $f$nie może być niezerowym wielomianem ani funkcją potęgi. Funkcja, która spełnia równanie funkcjonalne, które do tej pory znalazłem, jest trywialna$f(x) =0$. Czy ktoś może wskazać sposób na znalezienie reszty lub udowodnić, że ten, który znalazłem, jest tylko jeden? Z góry dziękuję.

Answer 1

Poszukajmy wszystkich ciągłych (bardzo strunowych ograniczeń!) Rozwiązań$\Bbb R\to\Bbb R$ (domena udostępniająca wiele narzędzi!).

---

Z $x=0$, znaleźliśmy $f(0)=0$.

Gdyby $f(x_0)=1$, następnie $$2=2f(x_0)=f(x_0f(x_0))=f(x_0)=1,$$sprzeczność. Wnioskujemy$f(x)\ne1 $ dla wszystkich $x$.

Gdyby $y=f(x)$ jest na obrazie $f$, więc tak jest $2y=f(xf(x))$. W szczególności, jeśli$f$ osiąga więc jakąkolwiek wartość dodatnią $f$jest nieograniczony od góry. Jednak z twierdzenia o wartości pośredniej wynika, że$1$ jest na obrazie $f$. Kończymy to$f(x)\le 0$ dla wszystkich $x$.

I jeśli $f$ osiąga wtedy jakąkolwiek wartość ujemną $f$jest nieograniczony od dołu. Następnie$f(x_1)=-\frac12$ dla niektórych $x_1$. Następnie$$ f(-\tfrac12x_1)=f(x_1f(x_1))=2f(x_1)=-1.$$ Przez IVT znowu istnieje $x_2$ pomiędzy $0$ i $-\frac12x_1$ z $f(x_2)=-\frac12$. Powtarzając ten proces, otrzymujemy sekwencję$\{x_n\}$ takie że $f(x_n)=-\frac 12$ i $|x_{n+1}|<\frac12|x_n|$tj. $x_n\to 0$. Tak jak$f(0)=0$, to zaprzecza ciągłości.

Dochodzimy do wniosku, że jedyne ciągłe rozwiązanie $f\colon \Bbb R\to\Bbb R$ to trywialne rozwiązanie.