Finding lim sup

Question

Nie mogę znaleźć sposobu na rozwiązanie tego problemu. Próbowałem użyć definicji lim sup, ale nie mam gdzie.

Rozważ serię: $\sum^\infty_{n=1} a_n = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots+\cdots$

Następnie $\limsup_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=$

Edycja: To jest praca, którą wykonałem wczoraj wieczorem. Przepraszam za nie pokazanie mojej pracy.

Spojrzałem na sekwencję $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$. Zauważyłem, że to wygląda$\frac{2}{3}, \frac{3}{2^2}, \frac{2^2}{3^2},\frac{3^2}{2^3},\cdots$.

Tak więc wyglądają ogólne warunki $(\frac{2}{3})^n$ dla $n$ dziwne i $\frac{1}{2}(\frac{3}{2})^n$ dla $n$ parzysty.

Spojrzałem na supremumy sekwencji ogonowych i zdecydowałem znaleźć ich dolną część. Sekwencja, jaką znalazłem, ma$\infty$ jako supremum każdej sekwencji ogona od sekwencji dla $n$nawet rośnie monotonicznie. W ten sposób wywnioskowałem, że powinno tak być$\infty$. Jednak odpowiedź została udzielona$\frac{1}{2}$.

Ta sekwencja, którą znalazłem, jest oczywiście błędna, ponieważ wykładniki, które wybrałem, są błędne.

Sekwencja faktycznie wygląda $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\cases{(\frac{2}{3})^{\frac{n+1}{2}}& n is odd\\ \frac{1}{2}(\frac{3}{2})^\frac{n}{2}& n is even}$

Ale nadal sekwencja supremum ogonów składa się tylko z $\infty$ stąd też dolna granica supremum $\infty$. czego mi brakuje?

Answer 1

Twój argument jest w porządku, a „bandyta” w tym jest autorem problemu, który sprawia, że ​​nie jest jasne, w jaki sposób $a_{n}$ma być wyrażona. W przypadku niektórych autorów stwierdziłem, że jest to prawdą; w razie wątpliwości podręcznik do matematyki jest zawsze napisany „trójkami”.

---

Jeśli zamiast leczyć $a_{n}$ być sekwencją naprzemiennych wzajemnych sił $2$ i $3$, bierzemy $a_{n}$ być sekwencją równych uprawnień, jak w $a_{n}=\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{3^{n}}$, wtedy otrzymujemy alternatywny (iz perspektywy czasu prawdziwy) opis danej serii. Dochodzimy do następującej sekwencji obliczeń$\lim \sup \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{2}$:

Najpierw przepisując $a_{n}$ na wspólnym mianowniku $a_{n}=\frac{3^{n}+2^{n}}{6^{n}}$ a więc

$$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{6(2^{n}+3^{n})}.$$

Dzielenie licznika i mianownika przez $3^{n+1}$ dochodzimy do $$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(\frac{2}{3})^{n+1}+1}{2((\frac{2}{3})^{n}+1)}.$$ Od teraz $$(\frac{2}{3})^{n},(\frac{2}{3})^{n+1}\to 0 \ \text{as} \ n \to \infty$$ rozumiemy $$\lim \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim \frac{(\frac{2}{3})^{n+1}+1}{2((\frac{2}{3})^{n}+1)}=\frac{1}{2}.$$ Dlatego $\lim \sup x_{n} = \lim x_{n}$ dla sekwencji $x_{n}$ które są zbieżne, możemy to wywnioskować $$\lim_{n\to\infty} \sup \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{2}$$.