Funkcja beta dla QED
Jaka jest funkcja beta w elektrodynamice kwantowej?
Nie mogę go znaleźć nigdzie poza artykułem na Wikipedii o funkcjach beta , gdzie funkcja pojedynczej pętli beta jest podana przez:$$\beta(\alpha) = \frac{\alpha^2}{3\pi}$$ Jednak używając definicji funkcji beta $$\beta(\alpha) = \frac{d\alpha}{d\ln(\mu)}$$ dostaje się: $$\frac{d\alpha}{d\ln(\mu)} = \frac{\alpha^2}{3\pi}$$
Po przegrupowaniu $$3\pi\frac{d\alpha}{\alpha^2} = d\ln(\mu)$$ i integracji $$-\frac{3\pi}{\alpha} = \ln(\mu) + C = \ln(\mu) - \ln(\mu_0) = \ln(\mu/\mu_0),$$ gdzie $C = -\ln(\mu_0)$ jest stałą całkowania, wynikiem jest: $$\alpha(\mu) = -\frac{3\pi}{\ln(\mu/\mu_0)} = \frac{3\pi}{\ln(\mu_0/\mu)}$$ Daje to nieujemne monotonicznie rosnące wartości $\alpha$ dla $\mu < \mu_0$ z osobliwością w $\mu_0$ (Myślę, że byłby to biegun Landaua).
Jednak dla dowolnej skończonej niezerowej wartości $\mu_0$, $\alpha(0)$ wydaje się $$\alpha(0) = \lim_{\mu\to0^+}\frac{3\pi}{\ln(\mu_0/\mu)} = \lim_{\ln(\mu)\to-\infty}\frac{3\pi}{\ln(\mu_0)-\ln(\mu)} = 0,$$ podczas gdy z drugiej strony $\alpha \approx 1/137$ powinien pojawić się przy niskich energiach zamiast zera.
Gdzie jest haczyk?
Czy w powyższej funkcji beta brakuje jakiegoś terminu? Na przykład wymiana$\alpha^2$ z $(\alpha - \alpha_0)^2$powinno dać oczekiwany rezultat, ale nigdzie nie wydaje się, aby tak było napisane. Czy mimo wszystko ta wymiana jest w jakiś sposób po cichu sugerowana?
Odpowiedzi
Najpierw mała poprawka do algebry.
Podążam za tobą aż tutaj.
\ begin {equation} 3 \ pi \ frac {{\ rm d} \ alpha} {\ alpha ^ 2} = d \ ln \ mu \ end {equation}
Myślę więc, że musimy postępować ostrożnie. Sposób, w jaki bym poszedł, to całkowanie ze skali odniesienia$\mu_0$ do skali energetycznej $q$. Następnie \ begin {equation} 3 \ pi \ int _ {\ mu_0} ^ q \ frac {{\ rm d} \ alpha} {\ alpha ^ 2} = \ ln \ frac {q} {\ mu_0} \ end {equation } Zmiana układu daje \ begin {equation} \ frac {1} {\ alpha (q)} - \ frac {1} {\ alpha (\ mu_0)} = - \ frac {1} {3 \ pi} \ ln \ frac {q} {\ mu_0} \ end {equation}
Jeśli chcesz, możesz to zmienić, aby uzyskać \ begin {equation} \ alpha (q) = \ frac {\ alpha (\ mu_0)} {1- \ frac {1} {3 \ pi} \ alpha (\ mu_0) \ ln \ frac {q} {\ mu_0}} \ end {equation}
Wyprowadzając to, założyliśmy niejawnie, że możemy użyć przybliżenia jednej pętli do funkcji beta. Wymaga to, aby tak zwane „duże kłody” nie pojawiały się. W praktyce oznacza to wybór skali referencyjnej$\mu_0$ która nie różni się zbytnio od skali energetycznej procesów, którymi jesteś zainteresowany, $q$.
Biorąc $q \ll \mu_0$, łamiesz to założenie i musiałbyś wznowić błędne logi w funkcji beta.
Lub możesz wybrać skalę odniesienia $\mu_0$ która dotyczy energii eksperymentów, którymi jesteś zainteresowany. Przy niskich energiach $\alpha(\mu_0)$ jest mały i tak $\alpha(q) \approx \alpha(\mu_0)$.
Jeśli wydaje się to niezadowalające (co mam na myśli przez duże energie?), Po prostu to zauważ $\alpha(q)$ wzrośnie nieznacznie wraz ze wzrostem $q$. Jeśli będziesz nadal dopasowywać$\mu_0$ do skali energetycznej $q$, w końcu dojdziesz do punktu, w którym $\alpha(\mu_0)$ terminu w mianowniku nie można zignorować w przypadku znacznego zakresu $q$.