Generatory $S_4$

Question

Grupa $S_4$ jest generowany przez $\{(12), (1234)\}$Teraz chcę wiedzieć, w jaki sposób wygeneruję cykl zamówienia $4$ i dowolny cykl zamówienia $3$ i porządek $2$.

Moje główne pytanie to znaleźć liczbę homomorfizmów i czy $\varphi(1234) \to -1$ i $\varphi (12) \to -1$.

Więc jak mam stąd wywnioskować, że każda dziwna permutacja przejdzie do $-1$ i każdy nawet pójdzie do $1$. (Trzeba to wykazać za pomocą prymitywnych obliczeń, a nie za pomocą twierdzeń o homomorfizmie).

Naprawdę potrzebuję pomocy.

Answer 1

Wszelkie dziwne permutacje $π$ musi być wyrażalne jako słowo w $(12)$ i $(1234)$ o nieparzystej długości $n$, ponieważ oba są dziwne. A zatem$\varphi(π)=(-1)^n=-1$, od $\varphi$ jest homomorfizmem.

Answer 2

Korzystanie z teorii reprezentacji (patrz https://math.stackexchange.com/q/3842441/432081) Pracowałem, opracowałem program w języku Python przetwarzający ciągi znaków do mnożenia permutacji. Krok po kroku zwiększyłem rozmiar podzbioru naszej grupy roboczej; istnieje jedna i tylko jedna standardowa reprezentacja.

$\tau = (12)$

$\sigma = (1234) = (12)\,(23) \,(34)$

$\sigma^2 = (13)\,(24)$

$\sigma^3 = (14)\,(24)\,(34)$

$\tau\sigma = (23) \,(34)$

$\tau\sigma^2 = (13) \, (24) \, (34)$

$\tau\sigma^3 = (14)\,(34)$

$\sigma\tau = (13) \,(34)$

$\sigma^2\tau = (14) \, (23) \, (34)$

$\sigma^3\tau = (24)\,(34)$

$\tau\sigma\tau = (13) \, (23) \,(34)$

$\tau\sigma^2\tau = (14) \, (23)$

$\tau\sigma^3\tau = (12) \, (24) \,(34)$

$\sigma^2\tau\sigma^2 = (34)$

Stąd możesz „oderwać” pozostałe $5$ transpozycji i wyjaśnij, dlaczego w przypadku każdej transpozycji $\omega$,

$\quad \varphi(\omega) = -1$