Gęstość Borela ustawiona na 0

Question

Twierdzenie o gęstości Lebesgue'a mówi, że jeśli $E$ jest mierzalnym zbiorem Lebesgue'a, a następnie gęstością $E$ w prawie każdym elemencie $E$ wynosi 1, a gęstość $E$ w prawie każdym elemencie, którego nie ma $E$ wynosi 0.

Prawdą jest jednak, że dla każdego $t$ dokładnie pomiędzy 0 a 1, istnieje zbiór Borela $E$ który ma gęstość $t$ o 0?

Nie mam pojęcia, jak zbudować taki zestaw dla losowej wartości $t$. Każda pomoc będzie mile widziana.

Answer 1

Tak. W wymiarze$\geq 2$ jest to trywialne, więc zakładam, że patrzymy na prawdziwą linię.

Biorąc pod uwagę $n>0$ i $\alpha\in [0,1]$, położyć $U'_{n,\alpha}=(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}))$ i $U_{n,\alpha}=U'_{n,\alpha}\cup -U'_{n,\alpha}$.

Położyć $U_\alpha=\bigcup_{n\geq 1} U_{n,\alpha}$. Następnie gęstość$U_{n,\alpha}$ w $0$ jest dokładnie $\alpha$. Aby to zobaczyć, napisz$m_r$ dla $\frac{\lambda(U_\alpha\cap (-r,r))}{2r}$ i zauważ, że:

• Jeśli $r\in (\frac{1}{n+1},\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}))$, następnie $m_{\frac{1}{n+1}}\leq m_r\leq m_{\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}$
• Jeśli $r\in (\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}),\frac{1}{n})$, następnie $m_{\frac{1}{n}}\leq m_r\leq m_{\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}$
• $m_{\frac{1}{n}}=\alpha$,
• $m_{\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}\leq m_{\frac{1}{n+1}}+n\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=\alpha+\frac{\alpha}{n+1}$.

Answer 2

Podpowiedź: niech $I_n=(1/(n+1),1/n).$ Pozwolić $L_n$ być długością $I_n.$ Poza $I_n$ wybieramy podprzedział

$$J_n = (1/(n+1),1/(n+1)+tL_n).$$

$J_n$ jest "$t$-bite "z $I_n.$ Zestaw $E=\cup J_n.$ Jeśli dobrze o tym myślę, będziemy mieć

$$\lim_{r\to 0^+} \frac{m((0,r)\cap E)}{r} = t.$$

Answer 3

Rozważ sekwencję liczb $r_n \searrow 0$ takie że $\frac{r_{n-1}}{r_n} \to 1$. Pozwolić$\theta$ być miarą zachowującą mapę z $(0,r_1]$ do $\mathbb R^2$ to trwa $(\pi r_{n}^2,\pi r_{n-1}^2] \subset \mathbb R$ do $\{x \in \mathbb R^2: r_n < |x| \le r_{n-1}\}$. Wtedy pozwolić$A$ być „kawałkiem ciasta” wyśrodkowanym w miejscu pochodzenia $\mathbb R^2$, z kątem $\alpha$w rogu. Następnie$\theta^{-1}(A)$ będzie zestawem z gęstością $\alpha/(4\pi)$ w $0$.

To da gęstości $0 \le t \le \frac12$. Dostać$\frac12 < t \le 1$po prostu dodaj $(-\infty,0]$.