Interpretacja uwag dotyczących zmian

Question

Chciałbym wyjaśnić, w jaki sposób wzięto tę pochodną częściową lagragi (równanie 3). To prawdopodobnie bardziej nadaje się do wymiany stosów matematyki, jednak jest to kurs fizyki, dlatego piszę tutaj. Na podstawie definicji rozszerzenia Taylora:

Nie rozumiem, jak i dlaczego jest to tylko częściowe $q_i$ a nie wszystkie inne zmienne dla drugiego członu, wraz z tym, dlaczego jest tylko wrt $\dot{q}_i$w trzeciej kadencji. Co więcej, wydaje się, że nie ma stałych, które są mnożone względem każdej funkcji, ani czegokolwiek$(x-a)$termin mógłby być. Pełna pochodna jest zdefiniowana w równ. 5, ale nie pasuje do pełnych pochodnych w równaniu. 3 powinno być:

Doceniony byłby pełny podział matematyki lub przynajmniej ogólne, formalne wyjaśnienie.

Answer 1

Twoja definicja szeregu Taylora w jednej zmiennej do pochodnych pierwszego rzędu to

$$ f(x) = f(a) + \frac{\partial f}{\partial x}(a)(x-a) $$

Zauważ, że zaniedbujemy terminy wyższego rzędu. Wyglądałoby to w przypadku dwóch zmiennych

$$ f(x_1,x_2) = f(a_1,a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1,a_2)(x_1-a_1)+ \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1,a_2)(x_2-a_2) $$

Zmieńmy zapis tak, aby $\delta x = (x-a)$, co reprezentuje nieskończenie małe przesunięcie parametrów. Powyższa seria Taylora to

$$ f(x_1,x_2) = f(a_1,a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1,a_2)\delta x_1+ \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1,a_2)\delta x_2 $$

A co by się stało, gdybyśmy mieli dużo zmiennych? Możemy zmodyfikować powyższe wyrażenie na

$$ f(\vec x) = f(\vec a) + \sum_i\frac{\partial f(\vec a)}{\partial x_i}\delta x_i $$

Teraz, co się stanie, jeśli połowa zmiennych zostanie naturalnie zgrupowana razem (wszystkie pozycje i wszystkie prędkości także), dlaczego nie napiszemy tego dla każdego wymiaru $i$, szczególnie wyciągając oba typy zmiennych!

$$ f(x_1, \dots,x_n,y_1,\dots ,y_n) = f(\vec a) + \sum_i\frac{\partial f}{\partial x_i}(\vec a)\delta x_i+ \sum_i\frac{\partial f}{\partial y_i}(\vec a)\delta y_i $$

ale biorąc pod uwagę notację sumowania Einsteina, wiemy, że sumowanie jest implikowane, więc jeśli chcemy, możemy porzucić znaki sumowania.

Akcja jest definiowana przez

$$ S = \int L(q_1,\dots ,q_n,v_1,\dots ,v_n,t)dt $$

gdzie $q_i$ i $v_i$to położenie i prędkość w każdym wymiarze. Odmianą akcji jest szereg Taylora pierwszego rzędu w pozycjach i prędkościach minus akcja niezakłócona.

$$ \delta S = \int dt\bigg\{L(q_1,\dots ,q_n,v_1,\dots ,v_n,t) + \sum_i\frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i+ \sum_i\frac{\partial L}{\partial v_i}\delta v_i\bigg\} - \int L(q_1,\dots ,q_n,v_1,\dots ,v_n,t)dt $$

Co upraszcza

$$ \delta S = \int dt\bigg\{ \sum_i\frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i+ \sum_i\frac{\partial L}{\partial v_i}\delta v_i\bigg\} $$

Jaki jest twój ostateczny wynik. Aby dojść do równań Eulera-Lagrange'a, możemy następnie ustawić$v_i=\dot q_i$ (tj. tylko wtedy, gdy prędkość jest pochodną czasu położenia, rozwiązaniem jest ekstremalna ścieżka działania, ale to tylko szczegóły).

$$ \delta S = \int dt\bigg\{ \sum_i\frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i+ \sum_i\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\delta \dot q_i\bigg\} $$Aby przejść dalej do tego wyrażenia, warto zebrać warianty w każdym wymiarze, abyśmy mogli razem wyciągnąć je z równania. Można to osiągnąć od$\dot q_i = d_tq_i$ stąd ostateczny termin może być całowany przez części w celu uzyskania

$$ \delta S = \int dt\bigg\{ \sum_i\frac{\partial L}{\partial q_i}-\sum_i\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\bigg\}\delta q_i + \delta q_i\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\bigg|^2_1 $$

Termin końcowy jest terminem granicznym i to znika z powodu narzucenia, że ​​w tym momencie zmiana znika, tj $\delta q=0$. Otrzymujesz równanie Eulera-Lagrange'a po narzuceniu tylko rozwiązań ekstremalnych$\delta S=0$.