Izotopia i izotopia otoczenia

Question

W notatce z wykładu z mojego kursu teorii węzłów znajduje się bardzo krótkie wyjaśnienie, dlaczego potrzebujemy izotopu otoczenia zamiast samej izotopii. Poniższy rysunek ilustruje bez żadnego wyjaśnienia. Nie rozumiem, dlaczego jest OK, aby węzeł stał się nierozwiązany, gdy jest izotopowy, ale nie jest OK, gdy jest izotopem otoczenia. Czy ktoś może podać intuicyjne wyjaśnienie?

Odniesienie

Answer 1

Ideą diagramu jest wykazanie, że izotopia między dwoma osadzeniami jest nieprawidłowym pojęciem równoważności węzłów. Zauważ, że węzeł jest osadzeniem:

$k:S^1\to \mathbb{R}^3$ (lub wygodniej $\mathbb{S^3}$)

Biorąc pod uwagę dwa węzły (osadzenia) $k_0$ i $k_1$możemy skonstruować izotopię osadzeń:

$k_t:S^1\times [0,1] \to S^3$

takie, że dla każdego $t\in [0,1]$, $k_t$ jest osadzaniem.

Dla każdego oswojonego węzła możemy skonstruować izotop, który intuicyjnie „ciągnie” zawiązaną część węzła w dół do punktu (jak na zdjęciu). Dla każdego$t<1$ węzeł nie przecina się samodzielnie, a dla $t=1$osadzanie jest tym, co unknot, a zatem nie przecina się samo. Dlatego opisana mapa jest izotopią wmurowań. Jednak ta mapa nie jest zróżnicowana (gładka) wokół$t=1$. Aby uniknąć równoważenia wszystkich oswojonych węzłów, przyjmuje się bardziej czułą miarę równoważności, w której izotop osadzenia jest gładki.

Aby to pogodzić ze standardową definicją równoważności węzłów poprzez izotopię otoczenia, należy zauważyć, że każda gładka izotopia osadzenia podnosi się do izotopu otoczenia.